凸五边形的五个外角之比是 1 : 2 : 3 : 4 : 5。求五个内角，并给出它们之间的比。

Step-by-step solution

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   从外角而不是内角入手，因为外角和才是那个与边数无关的事实。 沿任何凸多边形走一圈，方向恰好转过一整周，所以

   $\text{外角和}=360^\circ$

   三角形、五边形、一百边形都一样。正是这个唯一的常数，让题给的比例真正能用起来。

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   引入一个比例系数再求解。 把五个外角写成 $k,2k,3k,4k,5k$。于是

   $k+2k+3k+4k+5k=15k=360^\circ$

   $k=24^\circ$

3. 3

   列出五个外角。

   $24^\circ,\quad 48^\circ,\quad 72^\circ,\quad 96^\circ,\quad 120^\circ$

   五个角都是正的且小于 $180^\circ$，所以具有这组角的凸五边形在几何上确实可能存在。

4. 4

   把每个外角换算成对应的内角。 在每个顶点处，内角与外角拼成一条直线，因此互补：

   $\text{内角}=180^\circ-\text{外角}$

   $180-24=156^\circ,\quad 180-48=132^\circ,\quad 180-72=108^\circ,\quad 180-96=84^\circ,\quad 180-120=60^\circ$

5. 5

   用内角和来检验。 $n$ 边形的内角和是 $(n-2)\cdot180^\circ$，这里就是 $(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$：

   $156+132+108+84+60=540\;\checkmark$

   这是一次独立的确认，因为它用到的公式从头到尾没有参与前面的计算。

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   把五个内角化成比。 把 $156:132:108:84:60$ 同除以公因数 $12$，得到

   $13:11:9:7:5.$

   注意这个比不是 $5:4:3:2:1$——用 $180^\circ$ 去减并不是成比例的运算，所以外角成等差的比，换到内角上就变成了另一个等差的比。这个陷阱正是本题的用意所在。