一个矩形公园长 30 m、宽 20 m，四个角各有一块半径 7 m 的四分之一圆形花坛，其余部分四周修一条跑道。这条跑道有多长？

Step-by-step solution

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   先弄清边界到底由什么组成。 在一个角上挖掉一块四分之一圆，等于把这个角本身去掉了。剩下部分的边界不再是四条直边：它是四条被缩短的直边加上四段圆弧。所以答案既不是矩形的周长，也不是周长减去花坛的完整轮廓。

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   把每条直边缩短。 每个角在一个方向的边上吃掉 $7\ \text{m}$，在另一个方向的边上也吃掉 $7\ \text{m}$。每条边的两端各损失 $7\ \text{m}$，于是

   $\text{长边：}2(30-2\cdot 7)=2(16)=32\ \text{m},\qquad\text{短边：}2(20-2\cdot 7)=2(6)=12\ \text{m},$

   直线部分共 $32+12=44\ \text{m}$。（$30-14$ 与 $20-14$ 都是正数，说明四块花坛互不重叠——继续往下算之前值得先确认这一点。）

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   加上四段圆弧。 每段弧都是半径为 $7$ 的圆的四分之一，四个四分之一正好拼成一个整圆：

   $4\cdot\frac{1}{4}\left(2\pi r\right)=2\pi(7)=14\pi\ \text{m}\approx 43.98\ \text{m}.$

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   求出总周长。

   $P=44+14\pi\approx 44+43.98=87.98\ \text{m}.$

   因为半径恰好是 $7$，取课本上的近似 $\pi\approx\tfrac{22}{7}$ 时，四段弧刚好是 $2\cdot\tfrac{22}{7}\cdot 7=44\ \text{m}$，总长刚好 $88\ \text{m}$——这正是题目想要的答案。

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   拿原来的矩形对照检验。 原矩形周长是 $2(30+20)=100\ \text{m}$。每个角上 $14\ \text{m}$ 的直边被换成了长 $\tfrac{7\pi}{2}\approx 11\ \text{m}$ 的弧，减少约 $3\ \text{m}$；四个角共减少约 $12\ \text{m}$，而 $100-12=88\ \text{m}$。把角磨圆会让一圈变短，结果正合情理。