求点 (1, 4) 与直线 (0,0) + a*(3, 1) 之间的距离。

Step-by-step solution

1. 1

   先写出到直线上一般点的距离。 $\ell$ 上的点为 $(3a,a)$，所以

   $d(a)=\sqrt{(1-3a)^2+(4-a)^2}=\sqrt{1-6a+9a^2+16-8a+a^2}=\sqrt{10a^2-14a+17}$

   这个函数回答的是「$P$ 到参数为 $a$ 的那个点有多远」—— 而到直线的距离就是它的最小值。

2. 2

   最小化根号里的二次式。 平方根是增函数，所以最小化 $d(a)$ 等价于最小化 $q(a)=10a^2-14a+17$，其顶点在

   $a=-\frac{-14}{2(10)}=\frac{14}{20}=0.7$

   这与作垂直投影得到的 $a$ 相同：$\tfrac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}=\tfrac{3+4}{10}=0.7$。

3. 3

   在顶点处取值。

   $q(0.7)=10(0.49)-14(0.7)+17=4.9-9.8+17=12.1\;\Longrightarrow\;d=\sqrt{12.1}\approx 3.4785$

4. 4

   用平面上的叉积捷径复核。 在平面内，点 $P$ 到过原点、方向为 $\mathbf d=(3,1)$ 的直线的距离是

   $d=\frac{\left|p_xd_y-p_yd_x\right|}{\|\mathbf d\|}=\frac{|1\cdot 1-4\cdot 3|}{\sqrt{10}}=\frac{11}{\sqrt{10}}\approx 3.4785$

   而且确实有 $\left(\tfrac{11}{\sqrt{10}}\right)^2=\tfrac{121}{10}=12.1\;\checkmark$，与最小化二次式的结果完全吻合。

5. 5

   把答案说清楚。 如果题目问的是到整条直线的距离，答案是

   $d=\frac{11}{\sqrt{10}}=\frac{11\sqrt{10}}{10}\approx 3.4785$

   如果指的是某个特定参数 $a$，那么距离就是函数 $\sqrt{10a^2-14a+17}$：在 $a=0$ 处等于 $\sqrt{17}\approx 4.12$，并且当 $|a|\to\infty$ 时无限增大。