求点 (1, 4, −1) 到直线 (0,0,0) + a·(3, 1, 2) 的距离。

Step-by-step solution

1. 1

   列出叉积距离公式。 对过点 $Q$、方向向量为 $\mathbf d$ 的直线，点 $P$ 到它的距离是

   $d=\frac{\left\|\overrightarrow{QP}\times\mathbf d\right\|}{\|\mathbf d\|}$

   这里 $Q$ 取原点，于是 $\overrightarrow{QP}=\mathbf p=(1,4,-1)$，$\mathbf d=(3,1,2)$。从几何上看，分子是这两个向量张成的平行四边形面积，除以底边 $\|\mathbf d\|$ 剩下的就是高——而这个高正是所求的距离。

2. 2

   算叉积。

   $\mathbf p\times\mathbf d=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 1&4&-1\\ 3&1&2\end{vmatrix}=\left(4\cdot 2-(-1)\cdot 1,\;(-1)\cdot 3-1\cdot 2,\;1\cdot 1-4\cdot 3\right)=(9,\,-5,\,-11)$

   中间那个分量带着行列式展开自带的负号，符号错误就集中在这里。

3. 3

   分别取两个长度。

   $\left\|\mathbf p\times\mathbf d\right\|=\sqrt{81+25+121}=\sqrt{227},\qquad \|\mathbf d\|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$

4. 4

   相除得到距离。

   $d=\frac{\sqrt{227}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{227}{14}}\approx\sqrt{16.2143}\approx 4.0267$

5. 5

   用投影法交叉验证。 垂足对应的参数为

   $a^{*}=\frac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}=\frac{3+4-2}{14}=\frac{5}{14}$

   于是垂足是 $\tfrac{5}{14}(3,1,2)=(1.0714,\,0.3571,\,0.7143)$。从 $P$ 到该点的距离为 $\sqrt{(1-1.0714)^2+(4-0.3571)^2+(-1-0.7143)^2}=4.0267\;\checkmark$——用一条独立的路径得到了同一个值。