距离公式计算器

距离公式计算坐标空间中两点之间的直线距离。它是把勾股定理应用于由两点间水平与竖直间隔构成的直角三角形的直接结果。

二维形式——对于点 $P_1 = (x_1, y_1)$ 和 $P_2 = (x_2, y_2)$：

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

三维形式——对于点 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$：

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$n$ 维形式（欧几里得距离）：

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

它自然推广到任意维数，这正是它成为物理、统计和机器学习中主力「距离」概念的原因。

分步

1. 标记两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$。任意分配均可——公式是对称的。
2. 计算差：$\Delta x = x_2 - x_1$，$\Delta y = y_2 - y_1$。
3. 平方：$(\Delta x)^2$ 和 $(\Delta y)^2$。
4. 求和：$(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$。
5. 开平方：$d = \sqrt{\text{sum}}$。
6. 尽可能化简根号（例如 $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$）。

几何推导

从 $(x_1, y_1)$ 到 $(x_2, y_1)$ 画一条水平线段——长度 $|x_2 - x_1|$。
从 $(x_2, y_1)$ 到 $(x_2, y_2)$ 画一条竖直线段——长度 $|y_2 - y_1|$。
原始线段是以这两条边为直角边的直角三角形的斜边，所以由勾股定理：

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

开平方得到距离公式。因为平方消去了符号，所以不需要绝对值。

相关公式

• 中点：$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$——坐标的平均值。
• 斜率：$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$——使用与距离公式相同的差。
• 点到原点的距离：$d = \sqrt{x^2 + y^2}$（$(x_1, y_1) = (0, 0)$ 的特殊情况）。

曼哈顿 / 出租车距离（用于对比）

注意上面的公式是欧几里得距离。曼哈顿距离 $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ 衡量在网格上的行进（不走对角线）。它们是不同的度量——确保你知道你的问题需要哪一个。

• 忘记平方：$d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$。平方（和开方）必不可少。
• 符号错误：$(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$，所以相减顺序无关紧要——但这仅因为有平方。不要因为「看出」了差就丢掉平方。
• 忘记开平方：$(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ 是 $d^2$，不是 $d$。很多学生提前一步停下。
• 不化简根号：$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。留作 $\sqrt{8}$ 技术上正确，但考试通常会扣分。
• 混用二维和三维：如果问题是三维的，要包含 $(z_2 - z_1)^2$ 项。如果是二维，不要凭空造一个 $z$ 项。