一个等腰梯形的上底是 4，下底是 4 + 2r，两腰长都是 2r。用 r 表示它的面积和周长。

Step-by-step solution

1. 1

   周长就是四条边相加。 这一步根本用不到高：

   $P=4+(4+2r)+2r+2r=8+6r.$

2. 2

   把多出来的部分平分，构造直角三角形。 下底比上底长 $(4+2r)-4=2r$。在等腰梯形里这段多余长度被两端平分，所以每端各多出

   $\frac{2r}{2}=r.$

   从上底的两个顶点各作一条垂线，就得到一个斜边为 $2r$（即腰）、水平直角边为 $r$ 的直角三角形。

3. 3

   用勾股定理求高。

   $h^{2}+r^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}\;\Longrightarrow\;h^{2}=3r^{2}\;\Longrightarrow\;h=r\sqrt3.$

   比例 $r:r\sqrt3:2r$ 正是 30-60-90 直角三角形，所以每条腰与下底的夹角恰好是 $60^{\circ}$——这个角与 $r$ 无关，也就说明不论 $r$ 取多少，这些梯形都彼此相似。

4. 4

   套用梯形面积公式。

   $A=\frac12\bigl(\text{上底}+\text{下底}\bigr)h=\frac12\bigl(4+4+2r\bigr)\bigl(r\sqrt3\bigr)=\frac12\cdot 2(4+r)\cdot r\sqrt3=\sqrt3\,r(r+4).$

5. 5

   代一个具体数值检验，并交代取值范围。 只要 $r>0$，图形就是一个真正的梯形，因为此时高 $r\sqrt3$ 为正。取 $r=1$：两底为 $4$ 和 $6$，腰为 $2$，高为 $\sqrt3=1.7320508$。周长 $=4+6+2+2=14=8+6(1)$ ✓；面积 $=\tfrac12(10)(1.7320508)=8.660254$，而 $\sqrt3(1)(5)=8.660254$ ✓。