已知等腰梯形的上底为 5、下底为 11、高为 6。在其中内接一个矩形，使矩形的一边落在下底上，且各边与两底平行。求矩形面积的最大值。

Step-by-step solution

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   先求梯形的宽随高度如何收缩。 两底相差 $11-5=6$，由对称性，每条腰在整个高 $6$ 上各向内收进 $\tfrac{6}{2}=3$。因此宽度是离下底的高度 $x$ 的一次函数，从 $x=0$ 处的 $11$ 递减到 $x=6$ 处的 $5$：

   $w(x)=11-\frac{11-5}{6}\,x=11-x,\qquad 0\le x\le 6.$

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   用一个变量把矩形面积表示出来。 设矩形的高为 $x$，底边落在下底上。它的上边位于高度 $x$ 处，必须在那个高度上装进梯形，而那里正是它所占范围中最窄的地方——宽度是递减的，所以上边才是起约束作用的一边。于是这样的矩形最宽能取到 $w(x)=11-x$，面积为

   $A(x)=x(11-x)=11x-x^{2}.$

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   求这个二次函数的最大值。 $A(x)=-x^{2}+11x$ 是开口向下的抛物线，最大值在顶点处取得：

   $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-11}{2(-1)}=\frac{11}{2}=5.5.$

   这个值落在允许范围 $0\le x\le 6$ 之内，所以它是真正的最大值，没有被端点截掉。（配方也得到同样结果：$A=\tfrac{121}{4}-\left(x-\tfrac{11}{2}\right)^{2}$。）

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   算出最大面积。

   $A\!\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{11}{2}\left(11-\frac{11}{2}\right)=\frac{11}{2}\cdot\frac{11}{2}=\frac{121}{4}=30.25.$

   最优的矩形恰好是一个边长 $5.5$ 的正方形。

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   检验结果是否合理。 梯形本身的面积是 $\tfrac{5+11}{2}\cdot 6=48$，所以最优矩形占了它的 $\tfrac{30.25}{48}\approx 63\%$——这个比例是合理的。以 $10^{-5}$ 为步长在 $[0,6]$ 上数值扫描 $A(x)=x(11-x)$，最大值同样是 $x=5.5$ 处的 $30.25$，与顶点计算一致。