已知梯形的两条对角线分别为 15 和 7，中位线（中线）为 10，求这个梯形的面积。

Step-by-step solution

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   先把已知条件代进标准面积公式。 对于上下底为 $a$ 和 $b$、高为 $h$ 的梯形，

   $S=\frac{a+b}{2}\,h=m\,h$

   其中 $m$ 是中位线。这里 $m=10$，所以 $S=10h$，且 $a+b=2m=20$。于是一切都取决于高，而题目从头到尾没有直接给高。

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   把一条对角线平移，好把条件集中到一个三角形里。 把对角线 $BD$ 沿向量 $\vec{DC}$（也就是沿两底所在的方向）平移。它的端点落在长底的延长线上，于是得到一个三角形，三边恰好是两条对角线 $15$、$7$ 和长为 $a+b=20$ 的底。这一步是关键：平移既不改变对角线的长度，也不改变图形的高。

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   说明为什么这个三角形与梯形面积相等。 新三角形的底是 $a+b=20$，高与梯形的 $h$ 相同，所以它的面积是 $\tfrac12(a+b)h=\tfrac{a+b}{2}h$ —— 正好就是梯形的面积。所以算这个三角形的面积，就是在算梯形的面积。

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   对边长为 15、7、20 的三角形用海伦公式。 先确认它确实能构成三角形：$15+7=22>20$。半周长为

   $s=\frac{15+7+20}{2}=21$

   于是

   $S=\sqrt{21(21-15)(21-7)(21-20)}=\sqrt{21\cdot 6\cdot 14\cdot 1}=\sqrt{1764}=42$

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   再直接把高求出来复核一遍。 把两条对角线都投影到底边所在的方向上。它们的水平投影 $x$ 与 $20-x$ 满足

   $15^2=x^2+h^2,\qquad 7^2=(20-x)^2+h^2$

   相减消去 $h^2$：

   $225-49=x^2-(20-x)^2=40x-400\;\Longrightarrow\;40x=576\;\Longrightarrow\;x=14.4$

   于是 $h^2=225-14.4^2=225-207.36=17.64$，所以 $h=4.2$，从而

   $S=10\cdot 4.2=42$

   两种彼此独立的方法结果一致，所以面积就是 $42$。