在梯形 ABCD 中 AB 平行于 CD，腰 BC = 7 cm，腰 AD 的中点 I 到直线 BC 的距离为 4 cm。求这个梯形的面积。

Step-by-step solution

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   先看清楚缺了什么，然后干脆别去找它。 题目既没给上下底，也没给梯形的高，而且它们根本无法反推出来——符合这些条件的梯形有无穷多个。所以面积必须只靠 $BC$ 和那一个距离就能算出来，这就把思路指向了面积拆分，而不是通常那个「底乘高」的公式。

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   从 $I$ 出发把梯形切开。 把 $I$ 分别与 $B$、$C$ 相连，梯形被切成三个三角形：$IAB$、$IBC$ 和 $ICD$。它们的面积加起来就是整体：

   $S_{ABCD} = S_{IAB} + S_{IBC} + S_{ICD}$

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   用中点把其中两个三角形的高定下来。 设 $h$ 为梯形的高，即两条平行线 $AB$ 与 $CD$ 之间的距离。由于 $I$ 是 $AD$ 的中点，而 $A$ 在直线 $AB$ 上、$D$ 在直线 $CD$ 上，所以它到这两条平行线中每一条的距离都是 $h/2$。于是

   $S_{IAB} = \tfrac12 \cdot AB \cdot \tfrac{h}{2}, \qquad S_{ICD} = \tfrac12 \cdot CD \cdot \tfrac{h}{2}$

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   把它们相加，再与梯形本身作比较。 把两侧的三角形加起来：

   $S_{IAB} + S_{ICD} = \frac{(AB+CD)h}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{(AB+CD)h}{2} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$

   两侧三角形恰好占去梯形的一半，那么中间那个三角形占的就是另一半：

   $S_{IBC} = \tfrac12 S_{ABCD}$

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   用题给数据算出中间那个三角形。 三角形 $IBC$ 的底是 $BC = 7$，高就是 $I$ 到直线 $BC$ 的距离，即 $4$：

   $S_{IBC} = \tfrac12 \cdot 7 \cdot 4 = 14\ \text{cm}^2$

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   翻一倍就是梯形面积。 既然 $S_{IBC}$ 是梯形的一半，

   $S_{ABCD} = 2 \cdot 14 = 28\ \text{cm}^2$

   数值检验也印证了结果与底边无关：只要构造出的梯形满足 $BC = 7$ 且 $\operatorname{dist}(I, BC) = 4$，哪怕上下底和高差别再大，算出来的面积始终是 $28\ \text{cm}^2$。