在凸四边形 ABCD 中，AB = BC，AD = CD，∠B = 58°，∠D = 136°。求 ∠A 的度数。

Step-by-step solution

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   先从两组相等的边看出这是什么图形。 有两组相邻边分别相等（$AB=BC$ 与 $AD=CD$），所以 $ABCD$ 是一个筝形。这一点之所以关键：$B$ 和 $D$ 到 $A$ 与到 $C$ 的距离都相等，因此它们都落在 $AC$ 的垂直平分线上，于是对角线 $BD$ 就成了整个图形的对称轴。

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   利用对称性得到 $\angle A = \angle C$。 沿直线 $BD$ 翻折，$A$ 与 $C$ 互换而 $B$、$D$ 保持不动，所以 $A$ 处的角正好落到 $C$ 处的角上。因此

   $\angle A = \angle C$

   正是这一条，把原本四个未知角的问题变成了只含一个未知量的问题。

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   再用四边形的内角和。 任何四边形的内角和都是 $360^\circ$：

   $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

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   把已知角和刚得到的相等关系代进去。 把 $\angle C$ 换写成 $\angle A$：

   $2\angle A + 58^\circ + 136^\circ = 360^\circ$

   $2\angle A = 360^\circ - 194^\circ = 166^\circ$

   $\angle A = 83^\circ$

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   沿对角线 $AC$ 切开，换个角度验算。 三角形 $ABC$ 是等腰三角形，顶角为 $58^\circ$，所以两个底角都等于 $\tfrac{180^\circ-58^\circ}{2}=61^\circ$，即 $\angle BAC = 61^\circ$。三角形 $ACD$ 同样是等腰三角形，顶角为 $136^\circ$，于是 $\angle DAC = \tfrac{180^\circ-136^\circ}{2}=22^\circ$。两部分相加得 $\angle A = 61^\circ + 22^\circ = 83^\circ$，与上面的结果吻合。