解方程 (1 + x) 的 20 次方 = 1.1207。

Step-by-step solution

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   先看清结构。 这是一个复利增长方程：$1.1207$ 是 $20$ 个等长期间累积起来的总增长因子，而 $x$ 是每期的利率。因为指数是偶数，实数意义下的 $20$ 次方根取正的那一个（底数取负会使 $1+x<0$，作为增长因子毫无意义）。

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   用开方抵消乘方。 两边同取 $\tfrac{1}{20}$ 次方得 $1+x = 1.1207^{1/20} = \sqrt[20]{1.1207}.$

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   用对数来算这个根。 $\ln 1.1207 = 0.11395349$，所以 $\tfrac{1}{20}\ln 1.1207 = 0.00569767$，于是 $1+x = e^{0.00569767} = 1.00571394.$ 用对数可以避开反复开平方所带来的舍入漂移。

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   减 1 把利率单独取出来。 $x = 1.00571394 - 1 = 0.00571394 \approx 0.5714\%\ \text{每期}.$

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   正向复利验算。 $1.00571394^{20} = 1.120700$，与右边小数后六位完全一致，说明这个根是对的。

6. 6

   说明为什么线性估算很接近但并不相等。 把总增长平均分摊会算成 $\tfrac{0.1207}{20}=0.60\%$；真实利率 $0.5714\%$ 更小，因为复利本身替你完成了一部分增长。在 $20$ 期的跨度上，这个差距约为利率的 $5\%$。