解方程 (1 + x) 的 15 次方 = 1.0306。

Step-by-step solution

1. 1

   先安排好逆运算。 未知数被裹在 $15$ 次幂里，所以两边同取倒数指数：$1+x = 1.0306^{1/15} = \sqrt[15]{1.0306}.$ 奇次根的实数值唯一，所以这里不存在正负号的歧义。

2. 2

   用对数，而不是反复开方。 $\ln 1.0306 = 0.03014116$。除以 $15$：$\tfrac{0.03014116}{15} = 0.00200941$。

3. 3

   再指数回去。 $1+x = e^{0.00200941} = 1.00201143.$ 注意 $t$ 很小时有 $e^{t}\approx 1+t$，这正是指数 $0.00200941$ 与结果的小数部分 $0.00201143$ 看起来几乎一样的原因 - 它们只在第三位有效数字上才分开。

4. 4

   减掉 1 就是利率。 $x = 1.00201143 - 1 = 0.00201143 \approx 0.2011\%\ \text{每期}.$

5. 5

   正向复利回验。 $1.00201143^{15} = 1.030600$，正是题目给的那个增长因子。

6. 6

   位数一定要留够。 把根值四舍五入成 $1.0020$，利率就成了 $0.20\%$，复利 $15$ 期只得到 $1.030424$ - 增长因子在第四位小数上就已经偏了。利率小而期数多时，中间过程要保留至少八位有效数字，到最后一步才取舍。