Mia 21 岁起每季度往一个年利率 7.2%、按季复利的账户存入 700 美元。20 年后，她自己一共存了多少，其中利息是多少？

Step-by-step solution

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   把年利率换算成季度利率，并数清期数。 按季复利意味着一年有四期：

   $i = \frac{0.072}{4} = 0.018, \qquad n = 4 \times 20 = 80$

   这里的利率是精确的——没有循环小数——少了一个舍入误差的来源。

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   先求 Mia 自己投入的部分。 这一步完全用不上利息：就是每期存款额乘期数。

   $700 \times 80 = \$56{,}000$

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   算出累积因子。

   $(1.018)^{80} = 4.16698791$

   如果误用 $4.158880$——第三位小数就错了——最终余额会被低估 \300$ 以上。

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   求终值。

   $FV = 700 \cdot \frac{(1.018)^{80} - 1}{0.018} = 700 \times \frac{3.16698791}{0.018} = 700 \times 175.943773 = \$123{,}160.64$

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   相减，把利息单独分出来。

   $123160.64 - 56000 = \$67{,}160.64$

   利息占最终余额的 $54.5\%$——在 $7.2\%$ 的利率下跨 $20$ 年，复利的贡献比储蓄者本人还多。

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   用一个粗略的上下界交叉验证。 如果每一美元都投满 $20$ 年，余额会是 56000 \times 4.16699 = \233{,}351$；如果一分利息都不生，余额就只有$$56{,}000$。算出来的$$123{,}160.64$ 落在两者之间，与「平均投资期约为总期限一半」的直觉相符。