一笔 20 年期贷款总共还款 5,800 美元。如果年利率是 6.6% 且按月复利，本金是多少？

Step-by-step solution

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   先选对把「还款总额」和「本金」连起来的公式。 一笔按固定周期利率增长的整笔资金服从复利公式

   $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$

   除了 $P$ 之外的量题目都给了，所以这是一个只含单个未知数的方程 —— 用不上年金公式，因为题目描述的是一次性的最终付款，而不是一连串分期付款。

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   把名义年利率换算成周期利率和期数。 取 $r=0.066$，每年 $n=12$ 个计息周期，

   $i=\frac{0.066}{12}=0.0055,\qquad N=nt=12\times 20=240$

   $6.6\%$ 是名义年利率，所以必须先除以 $12$，才能拿来当指数运算的底数。

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   仔细算出增长因子 $(1.0055)^{240}$。 走对数这条路，算术过程随时可复核：

   $240\ln(1.0055)=240\times 0.00548492=1.3163808$
   $e^{1.3163808}=3.7299068$

   也就是说这笔钱在 240 个月里翻了 $3.7299068$ 倍。常见的一个笔误是把这个因子写成 $3.6521$；那个值根本就是错的，会把最终本金抬高约 \34$。

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   用还款总额除以增长因子。 把 $A=P(1+i)^N$ 反解，得

   $P=\frac{A}{(1+i)^N}=\frac{5800}{3.7299068}=1554.9986$

   四舍五入到分，本金就是 \1{,}555.00$。

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   把 $1{,}555.00$ 再推回去做检验。 乘回来，

   $1555.00\times 3.7299068=5800.00$

   正好还原出题目给的总额，说明折现的方向没有搞反。作为对照，用那个错误的因子 $3.6521$ 会得到 5800/3.6521=\1{,}588.13$，再按真实因子增长则是$1588.13\times 3.7299068=$5{,}923.58$—— 而不是$$5{,}800$，这就是不用问别人也能自己抓出错误的办法。