某贷款项目的年利率为 5%，按连续复利计息。假设期间不做任何还款，借 3300 美元三年后一共欠多少钱？

Step-by-step solution

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   选对公式，并且知道它是怎么来的。 一年计息 $n$ 次得到 $P\left(1+\tfrac{r}{n}\right)^{nt}$；令 $n\to\infty$，它就趋于连续复利公式

   $A=Pe^{rt}.$

   所以式子里出现 $e$ 并不是什么人为约定——它是计息越来越频繁时的极限。

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   统一单位，先把已知量对号入座。 本金 $P=3300$；利率要写成以年为单位的小数，$r=0.05$；时间的单位必须和利率一致，$t=3$ 年。把百分数和小数混用，或者拿月份去配年利率，是这里最常见的出错原因。

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   先把指数算出来。 不要急着做指数运算，先算 $rt$：

   $rt=0.05\times 3=0.15,\qquad A=3300\,e^{0.15}.$

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   中间过程不要提前四舍五入。 $e^{0.15}=1.1618342427\ldots$，于是

   $A=3300\times 1.1618342427=3834.053001\ldots$

   只在最后一步取舍，得到 \3834.05$。（若先把$e^{0.15}$舍成$1.16$，结果会是$$3828.00$，整整差了六美元。）

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   拿按年复利做个合理性检验。 如果一年只计息一次，余额是 3300(1.05)^3=\3820.16$。连续复利理应更大，但也只多出约$$13.89$——这提醒我们：利率不高时，计息频率的影响远远小于利率本身。