一张 3 年期债券每年付息 80，到期归还面值 1,000，现价 938。求它的到期收益率 y，即解方程 938 = 80/(1+y) + 80/(1+y)² + 1080/(1+y)³。

Step-by-step solution

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   把方程读成「价格 = 各期现金流的现值之和」。 每一项都是用同一个未知贴现率 $y$ 把某一笔支付折回今天。最后一项是 $1080$ 而不是 $80$，因为第 3 年既有最后一次付息又要归还 $1{,}000$ 面值：$80+1000=1080$。到期收益率恰恰就是那个能让现值等于报价的唯一贴现率。

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   令 $x=1+y$，去掉分母。 记 $x=1+y$，方程变成

   $938=\frac{80}{x}+\frac{80}{x^2}+\frac{1080}{x^3}$

   两边同乘 $x^3$，得到一个三次方程：

   $938x^3-80x^2-80x-1080=0$

   这就说明了为什么没有漂亮的公式：期数达到三期或更多时，收益率满足的是次数 $\ge 3$ 的多项式方程，只能数值求解。不过这个代换仍然值得做，因为它让函数关于 $x$ 明显是单调递减的——收益率越高、价格必然越低——所以在经济上有意义的根恰好只有一个。

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   用面值给搜索定个锚。 若 $y=8\%$（即票面利率），价格应该是

   $\frac{80}{1.08}+\frac{80}{1.08^2}+\frac{1080}{1.08^3}=74.07+68.59+857.34=1000.00$

   正好平价。而债券实际成交在 $938<1000$，是折价，所以收益率必然高于 $8\%$。光这一步检验，就能在动手试算之前先定下搜索方向。

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   用两次试算把根夹住。 试 $y=10\%$（$x=1.10$）：

   $\frac{80}{1.10}+\frac{80}{1.21}+\frac{1080}{1.331}=72.7273+66.1157+811.4200=950.2630$

   仍高于 $938$，说明收益率还要更大。再试 $y=11\%$（$x=1.11$）：

   $\frac{80}{1.11}+\frac{80}{1.2321}+\frac{1080}{1.367631}=72.0721+64.9298+789.6867=926.6886$

   这回低于 $938$。于是根被夹在 $10\%$ 和 $11\%$ 之间。

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   先线性插值，再细化。 在这两个价格之间做线性插值，得到第一个估计

   $y\approx 0.10+0.01\cdot\frac{950.2630-938}{950.2630-926.6886}=0.10+0.01\cdot\frac{12.2630}{23.5744}=0.1052$

   对 $f(x)=\frac{80}{x}+\frac{80}{x^2}+\frac{1080}{x^3}-938$ 再走一两步牛顿迭代，就稳定在

   $x=1.1051578\quad\Longrightarrow\quad y=0.1051578$

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   把债券重新定价一遍来验算。 取 $y=10.51578\%$：

   $\frac{80}{1.1051578}+\frac{80}{1.1051578^2}+\frac{1080}{1.1051578^3}=72.3879+65.5000+800.1121=938.00$

   价格被精确复现到分，所以 $y\approx 10.52\%$。顺带一提，像 $10.3\%$ 这样一个粗略的猜测会把债券定价到约 $943.1$——高了五块多——这正是夹逼那一步的意义：不要停在第一个看起来差不多的估计上。