一份按月存入的普通年金要在 17 年后达到 85,000 的终值，年利率 3.8%，按月复利。求总共存入了多少，其中利息又是多少。

Step-by-step solution

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   先写出普通年金的终值公式。 存款发生在每期期末，所以

   $FV = PMT \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}$

   其中 $i$ 是每期利率，$n$ 是存款的期数。

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   把年利率换算成月利率，并数清期数。 按月复利，于是

   $i = \frac{0.038}{12} \approx 0.0031666667, \qquad n = 17 \times 12 = 204$

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   把公式反解出 $PMT$。 移项整理得

   $PMT = FV \cdot \frac{i}{(1+i)^n - 1} = 85000 \cdot \frac{0.0031666667}{(1.0031666667)^{204} - 1}$

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   先算出增长因子。 $(1.0031666667)^{204} \approx 1.905948$，所以分母是 $0.905948$，于是

   $PMT \approx 85000 \cdot \frac{0.0031666667}{0.905948} \approx 297.11$

   也就是每月大约存入 \297.11$。

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   把存进去的钱加总。 $204$ 个月合计

   $297.110626 \times 204 = 60{,}610.57$

   注意这里用的是没有四舍五入的 $PMT$。如果实际存款按分取整，那么 \297.11 \times 204 = $60{,}610.44$，最终余额会比$$85{,}000$ 差上几分钱。

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   相减就得到利息。 账户最终达到 \85{,}000$，所以利息就是不是靠存入得来的那部分：

   $85000 - 60610.57 = 24{,}389.43$