解方程 120r = 10.1(1 − 1/(1 + r)^12)，求 r。这是本金 120、分 12 期每期偿还 10.1 的贷款的每期利率。

Step-by-step solution

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   认出这是年金现值方程。 两边同除以 $r$，就回到了标准形式

   $120=10.1\cdot\frac{1-(1+r)^{-12}}{r},$

   也就是 本金 $=$ 每期还款 $\times$ 年金系数，其中 $n=12$。看出代数式背后的金融含义，立刻就多了一个纯代数给不了的合理性检验。

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   先估出答案的量级，再动手算。 12 期总还款是 $12\times10.1=121.20$，而本金是 $120$，也就是说借款人在十二个计息期里总共只付了 $1.20$ 利息——大约是本金的 $1\%$，还要摊到这一整年的各期上去。因此利率只能是 $1\%$ 的一个很小的零头，而且是每期利率，不可能接近 $1\%$。任何靠近 $0.9\%$ 的答案一眼就能否掉：取 $r=0.00893$ 时，年金系数给出的贷款现值只有 $114.45$，而不是 $120$。

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   把它转成求根问题。 定义

   $f(r)=120r-10.1\left(1-(1+r)^{-12}\right).$

   注意 $f(0)=0$ 是一个平凡根——利率为零时两边都消失——所以真正有意义的是另一个变号点。代入试算：$f(0.001)=-0.000416$，$f(0.005)=+0.013244$，于是根落在 $(0.001,0.005)$ 之内。

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   二分到收敛。 把这个区间反复对半折，得到

   $r=0.0015341499\ldots\approx0.0015341,$

   也就是每期 $0.15341\%$。在 $(-0.5,1)$ 上整体扫一遍，再没有别的变号点，所以这是唯一有经济意义的解。

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   用年金系数回验。 取 $r=0.0015341499$，

   $\frac{1-(1+r)^{-12}}{r}=11.8811881,\qquad 10.1\times11.8811881=120.000000 ✓,$

   而另一边 $\frac{120}{10.1}=11.8811881$ ✓，正好对上。如果一期就是一个月，那么名义年利率是 $12r\approx1.84\%$，实际年利率是 $(1+r)^{12}-1\approx1.857\%$。