求圆 (x − 0.5334)² + (y − 0.5334)² = 0.3475² 与直线 (√3/3)x − y = 0 的交点。

Step-by-step solution

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   先把直线方程写成 $y$ 关于 $x$ 的形式。

   $y=\frac{\sqrt3}{3}x=\frac{x}{\sqrt3}\approx 0.5773503\,x$

   这条直线过原点，倾斜角是 $30^\circ$，因为它的斜率正好是 $\tan 30^\circ$。

2. 2

   代入圆的方程。 把 $y$ 替换掉，二元方程组就变成一个一元二次方程：

   $(x-0.5334)^2+\left(\frac{x}{\sqrt3}-0.5334\right)^2=0.3475^2$

   展开并按 $x$ 的幂次合并，得到 $Ax^2+Bx+C=0$，其中

   $A=1+\frac13=\frac43,\qquad B=-2(0.5334)-\frac{2(0.5334)}{\sqrt3}=-1.6827173,\qquad C=2(0.5334)^2-0.3475^2=0.4482749$

3. 3

   先算判别式，再动手求根。

   $\Delta=B^2-4AC=2.8315374-2.3907993=0.4407381>0$

   判别式为正，说明直线确实与圆交于两点；等于零就是相切，小于零则完全不相交。先算这一步，就知道该期待几个答案。

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   解这个二次方程。

   $x=\frac{1.6827173\pm\sqrt{0.4407381}}{2(4/3)}=\frac{1.6827173\pm 0.6638811}{2.6666667}$

   $x_1=0.879974,\qquad x_2=0.382064$

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   由直线方程回代求 $y$ 坐标。

   $y_1=0.5773503(0.879974)=0.508053,\qquad y_2=0.5773503(0.382064)=0.220585$

   所以两个交点是 $(0.8800,\,0.5081)$ 和 $(0.3821,\,0.2206)$。

6. 6

   验证两点确实都在圆上。 代回去：$(0.879974-0.5334)^2+(0.508053-0.5334)^2=0.120756=0.3475^2\;\checkmark$，第二个点同样精确到十二位小数。注意如果把第一个点四舍五入成 $(0.8806,\,0.5084)$，它就会偏离圆约 $4\times 10^{-4}$。