解方程：(1 + x) 的 12 次方减去 11.0528x 等于 1。

Step-by-step solution

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   改写成求根问题。 把 $1$ 移到左边，记 $f(x)=(1+x)^{12}-11.0528x-1,$ 于是要求 $f(x)=0$。这正是年金／内部收益率方程的形态：$12$ 期的累积因子与利率的 $11.0528$ 倍相抗。

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   先看出平凡根。 $f(0)=1^{12}-0-1=0$，所以 $x=0$ 是一个精确解。它对应「零利率」这个退化情形，因此还应当存在第二个、有经济意义的根。

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   在找第二个根之前先定出极值点。 $f'(x)=12(1+x)^{11}-11.0528$，它为零当 $(1+x)^{11}=\tfrac{11.0528}{12}=0.921067$，即 $x=0.921067^{1/11}-1\approx-0.0074469$。由于 $f'$ 随 $x$ 递增，这是唯一的极小点，且 $f(-0.0074469)\approx-0.0034829<0$。

4. 4

   据此断定恰有两个实根，并把另一个夹住。 $f$ 从 $f(-1)=10.0528$ 下降到极小值，再回升到 $f(0)=0$，所以极小点左侧有一个根。试算：$f(-0.02)=+0.0057727$，$f(-0.01)=-0.0030871$，所以根落在 $(-0.02,-0.01)$ 内。

5. 5

   二分到足够精度。 反复对半缩小区间，得到 $x \approx -0.01508489,$ 此处 $f(x)$ 的值在 $10^{-16}$ 以内为零。注意不要停在 $x\approx-0.00745$ 附近：那是极小点，那里 $f=-0.0035\ne0$。

6. 6

   验算并解释含义。 $(1-0.01508489)^{12}=0.8332697$，$-11.0528(-0.01508489)=0.1667303$；两者之和为 $1.000000$，与右边吻合。两个实数解是 $x=0$ 与每期 $x\approx-1.5085\%$；不存在正利率的解，因为对一切 $x>0$ 都有 $f>0$。