排列 vs 组合

排列与组合看起来几乎一模一样，直到你问出一个问题：顺序重要吗？ 弄错这点，你的概率答案就会差上 $r!$ 倍甚至更多。下面用解题范例给出清楚的区别。

核心问题：顺序重要吗？

• 是，顺序重要 → 排列。从 10 名跑者中选出第 1 / 2 / 3 名。
• 否，顺序不重要 → 组合。从 20 人中选出 5 人委员会。

同样的 10 名候选人，依角色是否有别，会得出不同的答案。

公式

从 $n$ 个元素中选 $r$ 个：

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

注意组合就是排列 除以 $r!$——因为组合不在意顺序，那个 $r!$ 去除了所选元素的各种排序。

解题范例

排列：赛事领奖台

10 名跑者，三个奖牌名次（金、银、铜）。顺序重要——金 ≠ 银。

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

组合：彩票号码

从 49 个号码中选 6 个——你彩票上的顺序不重要。

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

相同数字，不同答案

从 {A, B, C, D} 中选 3 个字母。

• 作为排列（3 字母密码）：$P(4, 3) = 24$。ABC、ACB、BAC、... 全部不同。
• 作为组合（只是选 3 个字母）：$C(4, 3) = 4$。{A,B,C}、{A,B,D}、{A,C,D}、{B,C,D}。

两者间 $3! = 6$ 的倍数差，正是公式中的 $r!$。

判断捷径

不确定时，问自己：“如果把我选的两个元素互换，结果会不同吗？”

• 会 → 排列
• 不会 → 组合

选队长与副队长 → 互换会改变谁是队长 → 排列。
选 2 人组成双人组 → 互换还是同一组 → 组合。

常见错误

• 涉及概率时把两者混用。分母（总结果数）与分子（有利结果数）必须使用 相同 的计数方法。
• 忘记 $r!$ 除数。若你想要组合却算了排列，会多算 $r!$ 倍。
• 可区分与不可区分的元素。若某些元素相同（例如 5 颗红球与 3 颗蓝球），任一简单公式都不适用——你需要多项式系数 $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$。

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