不等式详解：一元一次、复合、一元二次

不等式看起来和方程一模一样，直到你撞上那条让你半夜惊醒的规则：当你乘以或除以一个负数时，不等号方向翻转。本指南带你过一遍一元一次、复合和一元二次不等式，以及能解决 95% 作业的那些套路。

那条人人都会忘记的规则

对方程而言：每个运算都保持等号。$5 = 5$ 推出 $5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1)$——两边同等取负，等式仍成立。

对不等式而言：两边同时乘以或除以一个负数会翻转方向。$5 > 3$ 为真，但两边都乘以 $-1$，我们得到 $-5 > -3$，这是错的。修正后的式子是 $-5 < -3$。

这一条规则正是大多数不等式错误的根源。把它刻进你的条件反射里：

• 加/减任何东西 → 不翻转。
• 乘/除以正数 → 不翻转。
• 乘/除以负数 → 翻转不等号。

一元一次不等式

像解一元一次方程那样解，但要留意符号翻转。

示例 1：$3x + 5 > 14$。

• 两边减 5：$3x > 9$。
• 除以 $3$（正数，不翻转）：$x > 3$。
• 解集：$(3, \infty)$——开括号表示 $x = 3$ 不包含在内。

示例 2（带翻转）：$-2x + 7 \leq 1$。

• 两边减 7：$-2x \leq -6$。
• 除以 $-2$（负数——翻转）：$x \geq 3$。
• 解集：$[3, \infty)$——因为是 $\leq$，用方括号，包含 $3$。

复合不等式

"复合"不等式用 AND 或 OR 把两个简单不等式连起来。

AND 常写成一条连写的链式：$-1 < 2x + 3 \leq 7$。对全部三个部分同时运算。

• 每处都减 3：$-4 < 2x \leq 4$。
• 每处都除以 2：$-2 < x \leq 2$。
• 解：$(-2, 2]$。

OR 保持为两个独立的不等式。解是两个单独解集的并集：

$x < -3$ 或 $x > 5$ → 解 $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$。

一元二次不等式

对于 $x^2 + bx + c > 0$（或任何 $\neq 0$ 的不等式）：

1. 求根：解 $x^2 + bx + c = 0$。
2. 把根标在数轴上——它们把数轴分成若干区间。
3. 在每个区间里代入一个测试点，看二次式在那里是正还是负。
4. 挑出与不等号方向相符的区间。

示例：$x^2 - 5x + 6 > 0$。

• 因式分解：$(x - 2)(x - 3) > 0$。根在 $x = 2$ 和 $x = 3$。
• 测试区间：
  • $x = 0$：$(0-2)(0-3) = 6 > 0$ ✓
  • $x = 2.5$：$(0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$ ✗
  • $x = 4$：$(2)(1) = 2 > 0$ ✓
• 解：$(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$。

对于 $\leq$ 或 $\geq$ 不等式，要包含根（闭区间）：$(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$。

在数轴上画出解集

• 不包含的值（$<$ 或 $>$）处画空心圆（○）。
• 包含的值（$\leq$ 或 $\geq$）处画实心圆（●）。
• 朝解的方向画一条延伸到无穷的箭头。

复合 AND → 两个圆之间的一段。复合 OR → 两条向外延伸的独立射线。

含绝对值的不等式

$|x - a| < b$ 展开为 $-b < x - a < b$，即 $a - b < x < a + b$——一个有界区间。

$|x - a| > b$ 展开为 $x - a < -b$ 或 $x - a > b$，即 $x < a - b$ 或 $x > a + b$——两条向外延伸的射线。

常见错误

1. 除以负数时忘记翻转。这是不等式答错的最大单一来源。
2. 端点包含错误。$<$ 与 $\leq$ 有区别——你的括号类型取决于它。
3. 把复合 AND 当成等号处理。$-2 < x < 5$ 是一条完整的式子；你不能把它拆成"$x = -2$ 或 $x = 5$"。
4. 把一元二次不等式当方程解。把 $x^2 - 4 > 0$ "令其等于零"会得到根 $\pm 2$；但不等式的解不是 $\{-2, 2\}$，而是它们之间/周围的那些区间。

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相关材料：

• 术语表：不等式
• 术语表：绝对值
• 二次方程计算器——与不等式版本搭配使用