Máy Tính Khoảng Tin Cậy

Một khoảng tin cậy (CI) là một dải các giá trị hợp lý cho một tham số tổng thể chưa biết, được xây dựng từ dữ liệu mẫu. Một khoảng tin cậy 95% nghĩa là: nếu bạn lặp lại quy trình lấy mẫu nhiều lần, khoảng 95% các khoảng được xây dựng sẽ chứa tham số thực.

Quan trọng: 95% chỉ quy trình, không phải bất kỳ khoảng tính được đơn lẻ nào. Một khi một khoảng được xây dựng từ dữ liệu, nó hoặc chứa hoặc không chứa tham số thực — nhưng ta không biết là cái nào.

Cấu trúc cốt lõi: mọi khoảng tin cậy đều có dạng

$\text{ước lượng} \pm \text{sai số biên}$

Ước lượng là thống kê mẫu ($\bar{x}$ hoặc $\hat{p}$). Sai số biên là một giá trị tới hạn nhân với sai số chuẩn của ước lượng.

Khoảng tin cậy xuất hiện trong:

• Thăm dò bầu cử ('52% ủng hộ, sai số biên $\pm 3\%$')
• Nghiên cứu y học (khoảng tin cậy của cỡ tác động)
• Kiểm soát chất lượng (tỉ lệ lỗi trung bình)
• Bất cứ khi nào bạn muốn định lượng độ không chắc chắn trong một ước lượng, không chỉ báo cáo một giá trị điểm.

Khoảng Tin Cậy Cho Trung Bình Tổng Thể (Khoảng Z)

Khi độ lệch chuẩn tổng thể $\sigma$ đã biết và phân phối lấy mẫu xấp xỉ chuẩn ($n$ lớn hoặc tổng thể chuẩn):

$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

trong đó $z^*$ là giá trị tới hạn cho mức tin cậy đã chọn.

Khoảng Tin Cậy Cho Trung Bình Tổng Thể (Khoảng T)

Khi $\sigma$ chưa biết (bạn chỉ có $s$, độ lệch chuẩn mẫu) — phổ biến hơn nhiều trong thực tế:

$\bar{x} \pm t^*_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

Giá trị tới hạn $t^*$ đến từ phân phối t với $n - 1$ bậc tự do. Với $n$ lớn ($\geq 30$), $t^* \approx z^*$ và hai khoảng rất giống nhau.

Khoảng Tin Cậy Cho Tỉ Lệ Tổng Thể

Với một tỉ lệ mẫu $\hat{p} = x/n$ (trong đó $x$ là số thành công):

$\hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

Hợp lệ khi $n\hat{p} \geq 10$ và $n(1 - \hat{p}) \geq 10$ (điều kiện thành công-thất bại).

Các Giá Trị Tới Hạn

Sai Số Biên

$\text{ME} = (\text{giá trị tới hạn}) \times (\text{sai số chuẩn})$

Tăng cỡ mẫu $n$ làm giảm sai số chuẩn (và do đó sai số biên) theo hệ số $\sqrt{n}$. Tăng $n$ lên bốn lần làm giảm một nửa sai số biên.

Chọn Mức Tin Cậy

• Tin cậy cao hơn = khoảng rộng hơn. Khoảng tin cậy 99% rộng hơn 95%, rộng hơn 90%.
• 95% là mặc định trong hầu hết các bối cảnh học thuật và chuyên môn.
• 99% khi rủi ro cao hơn (y học, an toàn); 90% khi một ước lượng điểm chặt hơn quan trọng hơn độ bao phủ.

• Diễn giải sai 95%: 'Có 95% xác suất trung bình thực nằm trong khoảng này' là sai (theo trường phái tần suất). Phát biểu đúng là về quy trình: 95% các khoảng được xây dựng tương tự chứa tham số thực.
• Dùng z khi t mới phù hợp: với $\sigma$ chưa biết, dùng $t^*$. Dùng $z^*$ làm đánh giá thấp độ không chắc chắn, đặc biệt với $n$ nhỏ.
• Quên $\sqrt{n}$ trong sai số chuẩn: $\sigma/\sqrt{n}$, không phải $\sigma/n$.
• Sai hướng giá trị tới hạn: $z^* = 1.96$ cho 95% (hai đuôi), không phải $z = 1.645$ ở phân vị thứ 95. Giá trị tới hạn hai đuôi cắt bỏ $\alpha/2$ ở mỗi đuôi.
• Bỏ qua điều kiện thành công-thất bại cho tỉ lệ: nếu $n\hat{p}$ hoặc $n(1-\hat{p}) < 10$, xấp xỉ chuẩn không còn đúng — dùng khoảng chính xác (Clopper-Pearson) hoặc dựa trên điểm số.
• Lẫn lộn khoảng tin cậy với khoảng dự đoán: một CI 95% ước lượng trung bình với độ bao phủ 95%. Một khoảng dự đoán ước lượng một quan sát tương lai đơn lẻ — rộng hơn nhiều.