Máy Tính Công Thức Trung Điểm

Công thức trung điểm tìm điểm nằm chính xác ở giữa hai điểm cho trước. Nó chỉ là trung bình của các tọa độ:

Dạng 2D — với các điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Dạng 3D — với các điểm $(x_1, y_1, z_1)$ và $(x_2, y_2, z_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$

Vì sao lấy trung bình lại đúng: trung điểm chia đoạn thẳng theo tỉ lệ $1:1$, và tọa độ của bất kỳ điểm nào trên đoạn thẳng là trung bình có trọng số của các đầu mút. Với trọng số bằng nhau ($1/2$ mỗi cái), bạn được trung bình cộng đơn giản.

Công thức trung điểm xuất hiện liên tục trong hình học tọa độ: tìm tâm hình tròn từ đường kính, trọng tâm tam giác, hình bình hành, đường trung trực, và mọi bài toán liên quan đến 'giữa hai điểm'.

Từng Bước

1. Xác định hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$.
2. Lấy trung bình tọa độ x: $\frac{x_1 + x_2}{2}$.
3. Lấy trung bình tọa độ y: $\frac{y_1 + y_2}{2}$.
4. Kết hợp thành trung điểm $(M_x, M_y)$.

Không trừ, không bình phương, không căn — đơn giản hơn nhiều so với công thức khoảng cách.

Bài Toán Ngược: Tìm Đầu Mút Từ Trung Điểm

Nếu $M = (M_x, M_y)$ là trung điểm của $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$, bạn có thể giải tìm một trong hai đầu mút:

$x_2 = 2 M_x - x_1, \quad y_2 = 2 M_y - y_1$

Nhân đôi trung điểm, trừ đầu mút đã biết.

Tổng Quát Hóa: Công Thức Phân Đoạn

Với một điểm chia đoạn thẳng theo tỉ lệ $m : n$ (không chỉ $1:1$):

$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right)$

Công thức trung điểm là trường hợp đặc biệt $m = n = 1$.

Ứng Dụng Hình Học

• Tâm hình tròn từ các đầu mút đường kính: chính là trung điểm.
• Trọng tâm tam giác: trung bình tọa độ của cả ba đỉnh (tổng quát hóa trung điểm cho 3 điểm).
• Đường trung trực: một đường thẳng qua trung điểm vuông góc với đoạn thẳng ban đầu.
• Đường chéo của hình bình hành: trung điểm của cả hai đường chéo trùng nhau — hữu ích để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.

• Trừ thay vì cộng: trung điểm lấy trung bình — $\frac{x_1 + x_2}{2}$, không phải $\frac{x_2 - x_1}{2}$. Phép trừ thuộc về công thức khoảng cách.
• Quên chia mỗi tọa độ: số chia 2 áp dụng riêng cho tổng x và tổng y. Nó không phải một phép chia duy nhất ở cuối.
• Sai dấu với tọa độ âm: $\frac{-3 + 7}{2} = 2$, không phải $-2$ hay $5$. Cộng cẩn thận.
• Trộn lẫn công thức trung điểm và hệ số góc: trung điểm lấy trung bình, hệ số góc lấy hiệu. Chúng trông giống nhau nhưng trả lời các câu hỏi khác nhau.
• Quên cập nhật cho 3D: nếu bài toán ở 3D, đưa vào trung bình z. Nếu 2D, đừng thêm z ảo.