Tam giác đồng dạng và tam giác bằng nhau: Khi cùng hình dạng thắng cùng kích thước

Học sinh hình học nhầm lẫn đồng dạng và bằng nhau trong cứ mỗi hai bài chứng minh lại có một bài. Sự phân biệt nhỏ nhưng then chốt: các tam giác đồng dạng có chung hình dạng; các tam giác bằng nhau có chung hình dạng và kích thước. Hướng dẫn này chốt lại điều đó bằng các điều kiện, ví dụ giải mẫu và mẹo chứng minh.

Hai định nghĩa

• Đồng dạng ($\triangle ABC \sim \triangle DEF$): cả ba cặp góc tương ứng bằng nhau, và cả ba cặp cạnh tương ứng theo cùng một tỉ số.
• Bằng nhau ($\triangle ABC \cong \triangle DEF$): cả ba cặp góc tương ứng bằng nhau, và cả ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau về độ dài.

Vậy nên sự bằng nhau là đồng dạng với tỉ số = 1.

Bốn điều kiện bằng nhau

Bạn không cần kiểm tra cả sáu yếu tố (3 cạnh + 3 góc) để chứng minh hai tam giác bằng nhau. Bất kỳ một trong các điều kiện sau là đủ:

1. SSS — ba cặp cạnh bằng nhau.
2. SAS — hai cạnh và góc xen giữa bằng nhau.
3. ASA — hai góc và cạnh xen giữa bằng nhau.
4. AAS — hai góc và một cạnh không xen giữa bằng nhau.

Lưu ý: SSA không phải là một điều kiện bằng nhau hợp lệ (cái gọi là "trường hợp mơ hồ"). Hai tam giác có thể khớp theo SSA mà vẫn khác nhau.

Ba điều kiện đồng dạng

Đối với đồng dạng, bạn chỉ cần hình dạng:

1. AA — hai cặp góc tương ứng bằng nhau (cặp thứ ba tự động suy ra vì tổng các góc bằng 180°).
2. SSS — ba cặp cạnh theo cùng một tỉ số.
3. SAS — hai cặp cạnh theo cùng một tỉ số với góc xen giữa bằng nhau.

AA được dùng nhiều nhất cho đến nay vì góc thường là dễ đo nhất.

Ví dụ giải mẫu: đo chiều cao gián tiếp

Bạn không thể đo trực tiếp một cột cờ, nhưng bạn có thể đo một cây gậy dài 6 ft và bóng dài 4 ft của nó. Bóng của cột cờ vào cùng thời điểm trong ngày dài 30 ft. Nó cao bao nhiêu?

Cả hai tam giác đều là tam giác vuông cùng chia sẻ một góc mặt trời, nên chúng đồng dạng theo AA.

$\frac{\text{chiều cao cột cờ}}{30} = \frac{6}{4} \Rightarrow \text{chiều cao cột cờ} = 45 \text{ ft}$

Mẹo này — so sánh các tam giác đồng dạng được tạo bởi ánh sáng mặt trời — chính là cách Eratosthenes đo chu vi Trái Đất vào khoảng năm 240 trước Công nguyên.

Tỉ lệ diện tích và chu vi

Nếu hai tam giác đồng dạng với tỉ số $k$:

• Chu vi tỉ lệ theo $k$.
• Diện tích tỉ lệ theo $k^2$.

Vậy nên nhân đôi mọi cạnh sẽ làm diện tích gấp bốn lần. Tổng quát hóa cho mọi hình 2D.

Những lỗi thường gặp

• SSA không chứng minh được sự bằng nhau — hãy cẩn thận trong các bài thi trắc nghiệm.
• Liệt kê các đỉnh sai thứ tự khi viết $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ — thứ tự rất quan trọng! Nó nói rằng $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$.
• Dùng các cạnh bằng nhau cho đồng dạng khi đáng lẽ bạn nên kiểm tra tỉ số.

Thử với Trình giải tam giác AI

Nhập dữ liệu của hai tam giác bất kỳ vào Trình giải tam giác và kiểm chứng lập luận về đồng dạng / bằng nhau của bạn.

Liên kết liên quan:

• Máy tính diện tích — tiện cho quy tắc tỉ lệ $k^2$
• Máy tính chu vi — quy tắc tuyến tính $k$
• Máy tính lượng giác — các cách tiếp cận dựa trên góc