Máy tính rút gọn biểu thức

Rút gọn một biểu thức đại số nghĩa là viết lại nó dưới dạng ngắn hơn, gọn hơn, hoặc chuẩn hơn mà không thay đổi giá trị. Dạng rút gọn dễ đọc, dễ tính, và dễ dùng trong các phép tính tiếp theo.

Các phép rút gọn phổ biến gồm:

• Gộp các hạng tử đồng dạng: $3x + 5x = 8x$
• Triệt tiêu nhân tử chung: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = x - 3$ (với $x \neq -3$)
• Rút gọn số mũ: $\frac{x^5}{x^2} = x^3$
• Khai triển và gộp: $(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1$

Một biểu thức đã rút gọn tương đương với biểu thức gốc với mọi giá trị trong tập xác định. Lưu ý rằng "dạng đơn giản nhất" có thể phụ thuộc vào ngữ cảnh — đôi khi dạng phân tích nhân tử đơn giản hơn, đôi khi dạng khai triển.

Rút gọn là một kỹ năng đại số cốt lõi được dùng trong giải phương trình, tính giới hạn, tích phân hàm số, và trình bày kết quả toán học một cách rõ ràng.

1. Gộp các hạng tử đồng dạng

Nhóm các hạng tử có cùng biến và số mũ, rồi cộng các hệ số.

Ví dụ: $3x^2 + 2x - x^2 + 5x - 7 = 2x^2 + 7x - 7$

2. Áp dụng quy tắc lũy thừa

Các quy tắc chính:

• $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$
• $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
• $(x^a)^b = x^{ab}$

Ví dụ: $\frac{x^5 \cdot x^2}{x^4} = x^{5+2-4} = x^3$

3. Phân tích nhân tử và triệt tiêu

Với biểu thức hữu tỉ, phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử, rồi triệt tiêu nhân tử chung.

Ví dụ: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x - 3$ (với $x \neq -3$)

4. Khai triển tích

Dùng phân phối hoặc công thức đặc biệt:

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Ví dụ: $(2x+3)^2 - 4x^2 = 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 = 12x + 9$

5. Trục căn thức ở mẫu

Khử căn thức ở mẫu bằng cách nhân với biểu thức liên hợp:

$\frac{1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

6. Rút gọn phân thức phức hợp

Nhân tử số và mẫu số với mẫu số chung nhỏ nhất của tất cả các phân thức bên trong.

• Triệt tiêu hạng tử thay vì nhân tử: $\frac{x + 3}{x + 5} \neq \frac{3}{5}$. Bạn chỉ có thể triệt tiêu nhân tử chung của toàn bộ tử số và mẫu số.
• Quên điều kiện miền xác định: Khi triệt tiêu $(x+3)$ từ $\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}$, lưu ý rằng $x \neq -3$ trong biểu thức gốc.
• Tính số mũ sai: $x^2 \cdot x^3 = x^5$, không phải $x^6$. Và $\frac{x^5}{x^2} = x^3$, không phải $x^{2.5}$.
• Phân phối số mũ qua tổng: $(x + y)^2 \neq x^2 + y^2$. Khai triển đúng là $x^2 + 2xy + y^2$.
• Dừng quá sớm: Luôn kiểm tra xem kết quả có thể rút gọn thêm không (ví dụ, đặt ƯCLN còn lại làm nhân tử).