Hướng dẫn nhanh về bất phương trình: Tuyến tính, kép và giá trị tuyệt đối

Bất phương trình xuất hiện trong tối ưu hóa, dung sai kỹ thuật, và hầu hết mọi bài toán ràng buộc trong thực tế ("ngân sách không được vượt quá…"). Cơ chế tương tự như giải phương trình, với một điểm xoắn quan trọng: nhân hoặc chia cho một số âm sẽ đảo chiều dấu bất phương trình. Hướng dẫn này tập hợp mọi thao tác bạn cần trong một trang duy nhất.

Bất phương trình tuyến tính

Xử lý chúng giống hệt như phương trình tuyến tính — ngoại trừ việc đảo chiều dấu mỗi khi bạn nhân hoặc chia cả hai vế cho một số âm.

Giải $-3x + 5 < 14$:

1. Trừ 5: $-3x < 9$.
2. Chia cho $-3$ và đảo chiều: $x > -3$.

Tập nghiệm là khoảng mở $(-3, \infty)$.

Bất phương trình kép

Một bất phương trình kép kết hợp hai bất phương trình đơn giản hơn bằng và (giao) hoặc hoặc (hợp).

Giải $-1 \le 2x - 3 < 5$ (một "kẹp" kiểu "và"):

1. Cộng 3 vào cả ba phần: $2 \le 2x < 8$.
2. Chia cho 2: $1 \le x < 4$.

Nghiệm: $[1, 4)$.

Với các bất phương trình kiểu "hoặc" như $x < -2$ hoặc $x \ge 5$, nghiệm gồm hai phần rời nhau: $(-\infty, -2) \cup [5, \infty)$.

Bất phương trình giá trị tuyệt đối

Mẹo: $|A| < k$ viết lại thành $-k < A < k$, còn $|A| > k$ viết lại thành $A < -k$ hoặc $A > k$.

Giải $|2x - 1| \le 5$:

1. Viết lại: $-5 \le 2x - 1 \le 5$.
2. Cộng 1: $-4 \le 2x \le 6$.
3. Chia cho 2: $-2 \le x \le 3$. Nghiệm $[-2, 3]$.

Bất phương trình bậc hai

Chuyển tất cả về một vế, phân tích thành nhân tử, rồi xét dấu trên từng khoảng.

Giải $x^2 - x - 6 > 0$:

1. Phân tích thành nhân tử: $(x - 3)(x + 2) > 0$.
2. Các nghiệm chia trục số thành ba khoảng: $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$, $(3, \infty)$.
3. Thử một điểm trong mỗi khoảng: tại $x = -3$ tích là dương; tại $x = 0$ là âm; tại $x = 4$ là dương.
4. Nghiệm: $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

Những sai lầm thường gặp

• Quên đảo chiều khi chia cho một số âm — lỗi đơn lẻ lớn nhất.
• Nhầm lẫn dấu ngoặc mở và ngoặc đóng: $<$ dùng ngoặc tròn, $\le$ dùng ngoặc vuông.
• Bình phương cả hai vế của $|A| < B$ một cách mù quáng: chỉ hợp lệ khi cả hai vế đều không âm.

Kiểm tra với Trình giải bất phương trình AI

Nhập bất kỳ bất phương trình nào vào Trình giải bất phương trình và bạn sẽ thấy danh sách các bước đầy đủ — hoàn hảo để kiểm tra lại bài tập về nhà.

Tài liệu tham khảo liên quan:

• Trình giải phương trình — cùng đại số, phiên bản đẳng thức
• Trình giải giá trị tuyệt đối — cho các bài toán dạng $|A| = k$
• Trình giải bậc hai — đi kèm với trường hợp bậc hai ở trên