Máy tính giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của một số thực $x$, ký hiệu $|x|$, là khoảng cách của nó từ $0$ trên trục số:

$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$

Các tính chất chính:

• $|x| \geq 0$ với mọi $x$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = 0$.
• $|xy| = |x||y|$ (tính nhân).
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (bất đẳng thức tam giác).
• $|x|^2 = x^2$, nên $|x| = \sqrt{x^2}$.

Diễn giải hình học: $|a - b|$ là khoảng cách giữa hai số $a$ và $b$ trên trục số. Đó là lý do bất phương trình giá trị tuyệt đối được chuyển thành các phát biểu khoảng cách một cách gọn gàng.

Giá trị tuyệt đối mở rộng sang số phức ($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$) và sang vectơ (chuẩn Euclid), nhưng ở đây ta tập trung vào trường hợp giá trị thực được dùng trong hầu hết bài tập.

Loại 1: Phương trình giá trị tuyệt đối

$|f(x)| = c$ trong đó $c$ là một hằng số.

• Nếu $c < 0$: vô nghiệm (giá trị tuyệt đối không bao giờ âm).
• Nếu $c = 0$: giải $f(x) = 0$.
• Nếu $c > 0$: tách thành hai trường hợp: $f(x) = c$ hoặc $f(x) = -c$. Giải từng trường hợp, giữ lại tất cả nghiệm hợp lệ.

Ví dụ: $|2x - 3| = 7$ tách thành $2x - 3 = 7$ hoặc $2x - 3 = -7$, cho $x = 5$ hoặc $x = -2$.

Loại 2: Bất phương trình bé hơn

$|f(x)| < c$ (hoặc $\leq$) trong đó $c > 0$.

Tương đương với: $-c < f(x) < c$ (bất phương trình kép, AND).

Ý nghĩa hình học: $f(x)$ nằm trong khoảng cách $c$ tới $0$.

Ví dụ: $|2x + 1| < 7$ trở thành $-7 < 2x + 1 < 7$, cho $-4 < x < 3$.

Nếu $c \leq 0$, vô nghiệm (hoặc chỉ $f(x) = 0$ nếu $c = 0$).

Loại 3: Bất phương trình lớn hơn

$|f(x)| > c$ (hoặc $\geq$) trong đó $c \geq 0$.

Tương đương với: $f(x) < -c$ hoặc $f(x) > c$ (tuyển, OR).

Ví dụ: $|3x - 6| \geq 9$ trở thành $3x - 6 \leq -9$ hoặc $3x - 6 \geq 9$, cho $x \leq -1$ hoặc $x \geq 5$.

Nếu $c < 0$, mọi số thực đều thỏa mãn bất phương trình.

Khó: Giá trị tuyệt đối ở cả hai vế

$|f(x)| = |g(x)|$ tách thành $f(x) = g(x)$ hoặc $f(x) = -g(x)$.

Kiểm tra nghiệm

Luôn thế ngược vào phương trình gốc. Bình phương hoặc tách có thể tạo ra nghiệm ngoại lai trong một số trường hợp.

• Bỏ qua trường hợp âm: $|x| = 5$ có hai nghiệm, $x = 5$ và $x = -5$. Người mới học thường chỉ viết nghiệm dương.
• Dùng AND và OR ngược nhau: $|x| < c$ dùng AND (giữa $-c$ và $c$); $|x| > c$ dùng OR (nhỏ hơn $-c$ hoặc lớn hơn $c$). Đổi chỗ chúng cho đáp án sai.
• Quên rằng $c$ phải không âm: $|f(x)| = -3$ vô nghiệm vì $|f(x)| \geq 0$ luôn đúng.
• Nhầm dấu trong trường hợp âm: $|2x - 3| = 7$ cho $2x - 3 = -7$, không phải $-(2x) - 3 = 7$. Lấy đối của toàn bộ biểu thức bằng $-c$.
• Bỏ sót nghiệm ngoại lai: Sau khi giải, luôn thế ngược vào phương trình gốc. Nếu cấu trúc giá trị tuyệt đối dựa vào việc $f(x)$ không âm, hãy kiểm tra điều đó.