سلسلہ قاعدہ: اسے کب اور کیسے لاگو کریں (مثالوں کے ساتھ)

سلسلہ قاعدہ تفریق میں سب سے زیادہ استعمال ہونے والا آلہ ہے، اور سب سے بڑا غلطی کا ذریعہ بھی۔ ایک بار جب آپ "باہر-پھر-اندر" کا انداز اپنے اندر اتار لیتے ہیں، تو تقریباً کسی بھی مرکب تفاعل کی تفریق تین سطروں میں کر سکتے ہیں۔ یہ گائیڈ یہ انداز دکھاتی ہے، بڑھتی مشکل کی سات مثالوں سے گزارتی ہے، اور پہلے سے یاد رکھنے کے قابل چار غلطیاں درج کرتی ہے۔

سلسلہ قاعدہ کیا کہتا ہے

اگر $f$ اور $g$ قابل تفریق ہوں، تو ترکیب $f(g(x))$ کا مشتق ہے

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

الفاظ میں: بیرونی تفاعل کو اندرونی پر قیمت دے کر تفریق کریں، پھر اندرونی کے مشتق سے ضرب دیں۔ "بیرونی" اور "اندرونی" کے نشان قابل سمجھوتہ نہیں — انہیں الٹنے سے جواب پلٹ جاتا ہے۔

ایک مفید یاد دہانی: سلسلہ قاعدہ ہے "بیرونی مشتق ضرب اندرونی مشتق"، کبھی جمع نہیں، کبھی صرف ایک نہیں۔

حل شدہ مثالیں (آسان → مشکل)

مثال 1: $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• بیرونی: $\sin(u)$، اندرونی: $u = 2x$۔
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$، $\frac{d}{dx}(2x) = 2$۔
• نتیجہ: $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$۔

مثال 2: $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• بیرونی: $e^u$، اندرونی: $u = x^2$۔
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$، $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$۔
• نتیجہ: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$۔

مثال 3: $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• بیرونی: $u^4$، اندرونی: $u = 3x^2 + 1$۔
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$، $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$۔
• نتیجہ: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$۔

مثال 4: $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• بیرونی: $\ln u$، اندرونی: $u = \cos x$۔
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$، $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$۔
• نتیجہ: $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$۔

مثال 5: $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• $(x^2 + 1)^{1/2}$ کے طور پر دوبارہ لکھیں۔
• بیرونی: $u^{1/2}$، اندرونی: $u = x^2 + 1$۔
• بیرونی مشتق: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$۔ اندرونی: $2x$۔
• نتیجہ: $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$۔

مثال 6: نیسٹڈ سلسلہ — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

تین تہیں — سلسلہ قاعدہ دو بار لگائیں۔

• سب سے بیرونی: $\sin(u)$، اندرونی $u = \cos(x^2)$۔
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ ($\cos(x^2)$ پر سلسلہ قاعدہ)۔
• نتیجہ: $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$۔

مثال 7: سلسلہ + ضرب قاعدہ ساتھ — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• پہلے ضرب قاعدہ استعمال کریں: $(fg)' = f'g + fg'$۔
• $f = x^2$، $f' = 2x$۔ $g = \sin(3x)$، سلسلہ قاعدے سے $g' = 3\cos(3x)$۔
• نتیجہ: $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$۔

یاد رکھنے کے قابل چار غلطیاں

1. اندرونی مشتق بھولنا۔ $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ لکھنا سب سے عام سلسلہ قاعدہ غلطی ہے۔ عامل $2$ لازمی ہے۔
2. رکھنے سے پہلے اندرونی کی تفریق۔ $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ $4(6x)^3$ نہیں ہے۔ بیرونی مشتق اندرونی اظہار پر قیمت پاتا ہے، اندرونی مشتق پر نہیں۔
3. نیسٹڈ تفاعل کو ضرب سمجھنا۔ $\sin(2x)$ ایک ترکیب ہے، ضرب نہیں۔ سلسلہ قاعدہ استعمال کریں، ضرب قاعدہ نہیں۔
4. مثلثی قوتوں کے قوسین غلط۔ $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — بیرونی $u^2$، اندرونی $\sin x$۔ $\sin(x^2)$ سے آسانی سے الجھتا ہے جہاں بیرونی $\sin$ اور اندرونی $x^2$ ہے۔

جب پھنس جائیں: تبدیلی کا حربہ

$u = \text{(اندرونی حصہ)}$ رکھیں، $\frac{dy}{du}$ اور $\frac{du}{dx}$ نکالیں، ضرب دیں۔ تفاعل خواہ کتنا ہی خوفناک لگے، یہ مشینی تبدیلی ہمیشہ کام کرتی ہے۔

خود آزمائیں

کوئی بھی مرکب تفاعل ہمارے مفت مشتق کیلکولیٹر میں چسپاں کریں اور سلسلہ قاعدے کے ہر اطلاق کو مرحلہ وار دیکھیں۔ ہوم ورک کے دوران تیز حوالے کے لیے اسے ہمارے سلسلہ قاعدہ چیٹ شیٹ سیکشن کے ساتھ جوڑیں۔

گہری متعلقہ مواد کے لیے:

• حد کیلکولیٹر — حدیں سلسلہ قاعدے کی بنیاد میں جاتی ہیں
• تکامل کیلکولیٹر — تبدیلی الٹا چلا سلسلہ قاعدہ ہے
• حل شدہ مثال: sin(2x) کا مشتق
• حل شدہ مثال: e^(2x) کا مشتق