เครื่องคำนวณคะแนน Z

คะแนน z (เรียกอีกอย่างว่า คะแนนมาตรฐาน) วัดว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

โดยที่ $x$ คือค่าดิบ $\mu$ คือค่าเฉลี่ยประชากร และ $\sigma$ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร

การตีความ:

• $z = 0$: ค่าเท่ากับค่าเฉลี่ย
• $z = 1$: สูงกว่าค่าเฉลี่ยหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
• $z = -2$: ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยสองส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
• $|z| > 2$ ตามธรรมเนียมถือว่า 'ผิดปกติ'; $|z| > 3$ ถือว่า 'สุดขั้ว'

ทำไมต้องทำให้เป็นมาตรฐาน?

• ความเปรียบเทียบได้: คะแนน z ช่วยให้เปรียบเทียบค่าจากการแจกแจงต่างกันได้ (เช่น $z = 1.5$ ในการสอบ SAT คณิตเทียบกับ $z = 1.5$ ในการสอบภาษาหมายถึงผลการทำงานเชิงสัมพัทธ์เดียวกัน)
• การเปิดตารางความน่าจะเป็น: ถ้าการแจกแจงพื้นฐานประมาณเป็นปกติ $z$ แมปไปยังความน่าจะเป็นโดยตรงผ่าน CDF ปกติมาตรฐาน $\Phi(z)$
• การตรวจหาค่าผิดปกติ: $|z|$ ใหญ่บ่งชี้ค่าผิดปกติที่เป็นไปได้

เวอร์ชันตัวอย่าง: เมื่อทำงานจากข้อมูลตัวอย่าง ให้แทน $\mu$ ด้วย $\bar{x}$ และ $\sigma$ ด้วย $s$:

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

ทีละขั้นตอน

1. ระบุ ค่า $x$ ค่าเฉลี่ย $\mu$ (หรือ $\bar{x}$) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma$ (หรือ $s$)
2. ลบ ค่าเฉลี่ย: $x - \mu$
3. หาร ด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: $z = (x - \mu)/\sigma$

ย้อนกลับ: หา $x$ จาก $z$

$x = \mu + z\sigma$

มีประโยชน์เมื่อกำหนดเปอร์เซ็นไทล์และถามหาค่าดิบที่สอดคล้อง

ความน่าจะเป็นผ่านปกติมาตรฐาน

สำหรับตัวแปรที่แจกแจงปกติ $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ตัวแปรที่ทำให้เป็นมาตรฐาน $Z = (X - \mu)/\sigma$ มีการแจกแจง ปกติมาตรฐาน $N(0, 1)$

ความน่าจะเป็นที่พบบ่อย:

ความสมมาตร: $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$

กฎเชิงประจักษ์ (68-95-99.7)

สำหรับการแจกแจงปกติ:

• ~68% ของค่าตกอยู่ภายใน $\pm 1\sigma$ ของค่าเฉลี่ย
• ~95% ภายใน $\pm 2\sigma$
• ~99.7% ภายใน $\pm 3\sigma$

นี่คือพื้นฐานสำหรับช่วงความเชื่อมั่นและการประมาณอย่างรวดเร็วหลายอย่าง

ค่า Z วิกฤตสำหรับช่วงความเชื่อมั่น

เหล่านี้คือค่า $z^*$ ที่ทำให้ $P(-z^* < Z < z^*) =$ ระดับความเชื่อมั่น

• ลำดับผิด: $z = (x - \mu)/\sigma$ ไม่ใช่ $(\mu - x)/\sigma$ การวางค่าเฉลี่ยที่สองทำให้เครื่องหมายพลิก
• ใช้ความแปรปรวนแทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: หารด้วย $\sigma$ ไม่ใช่ $\sigma^2$ ค่าที่ 'ห่างหนึ่งความแปรปรวน' ไม่มีความหมาย — คุณต้องการหนึ่ง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
• ตัวอย่างกับประชากร: กับข้อมูลตัวอย่าง ใช้ $\bar{x}$ และ $s$ กับพารามิเตอร์ที่ทราบ ใช้ $\mu$ และ $\sigma$ การปนกันทำให้คะแนน z พองหรือยุบ
• สมมติความปกติโดยไม่ตรวจสอบ: คะแนน z คำนวณได้สำหรับการแจกแจงใด ๆ แต่การเปิดตารางความน่าจะเป็น $\Phi(z)$ ใช้ได้เฉพาะเมื่อการแจกแจงพื้นฐานเป็นปกติ (หรือประมาณเป็นปกติด้วย CLT)
• ลืมเครื่องหมาย: $z = -2$ หมายถึง 'ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย' การรายงาน $z = 2$ บิดเบือนทิศทาง
• สับสนความน่าจะเป็นหางเดียวกับสองหาง: $P(|Z| > 2)$ คือ สองหาง รวมกัน ($\approx 0.0456$) $P(Z > 2)$ คือหางเดียว ($\approx 0.0228$) อ่านคำถามอย่างระมัดระวัง