เครื่องคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์

อนุกรมเทย์เลอร์ แทนฟังก์ชันเป็นพหุนามอนันต์ที่สร้างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดเดียว $a$:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

เมื่อ $a = 0$ อนุกรมเรียกว่า อนุกรมแมคลอริน:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

ทำไมเรื่องนี้จึงสำคัญ: อนุกรมเทย์เลอร์แปลงการคำนวณบนฟังก์ชันที่อาจยาก ($\sin x$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{1 + x}$) เป็นการคำนวณบนพหุนาม ซึ่งคอมพิวเตอร์และมนุษย์จัดการได้ เป็นพื้นฐานของวิธีเชิงตัวเลข การกระจายเชิงเส้นกำกับ และทฤษฎีการประมาณ

พหุนามเทย์เลอร์ดีกรี $n$ คือผลบวกย่อยที่เก็บพจน์ถึง $(x-a)^n$ เป็นการประมาณพหุนามที่ดีที่สุดของ $f$ ใกล้ $a$ ในความหมายที่แม่นยำ (จับคู่ค่าและอนุพันธ์ $n$ ตัวแรก)

ขั้นที่ 1: คำนวณอนุพันธ์ที่จุดกระจาย

สำหรับ $f(x)$ และจุดกระจาย $a$ คำนวณ $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$

ขั้นที่ 2: แทนลงในสูตร

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

อนุกรมแมคลอรินที่พบบ่อยที่ควรจำ

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

รัศมีการลู่เข้า

อนุกรมเทย์เลอร์ลู่เข้าเฉพาะภายใน รัศมีการลู่เข้า $R$ รอบ $a$ หาได้โดยใช้การทดสอบอัตราส่วน:

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

นอกรัศมีนี้ อนุกรมลู่ออกและไม่แทนฟังก์ชัน ภายในรัศมี การลู่เข้ามักเป็นแบบเอกรูปบนเซตย่อยที่กระชับ

การจัดการอนุกรมที่รู้จัก

เพื่อความรวดเร็ว ให้แทนค่า หาอนุพันธ์ หรือหาปริพันธ์อนุกรมที่รู้จักแทนการคำนวณอนุพันธ์จากศูนย์:

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ (แทน $-x^2$ ลงใน $e^x$)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• ลืมแฟกทอเรียล: พจน์ที่ $n$ มี $\frac{1}{n!}$ ไม่ใช่แค่อนุพันธ์ การข้ามนี้ให้คำตอบที่ผิดอย่างมหันต์
• ใช้อนุกรมนอกรัศมีการลู่เข้า: $\frac{1}{1-x}$ ไม่ เท่ากับ $\sum x^n$ เมื่อ $|x| > 1$ — อนุกรมลู่ออกที่นั่น
• ลืมศูนย์กลางที่ $a$: อนุกรมเทย์เลอร์รอบ $a$ ใช้กำลังของ $(x-a)$ ไม่ใช่ $x$
• สับสนดีกรีกับจำนวนพจน์: พหุนามเทย์เลอร์ดีกรี $n$ มี $n+1$ พจน์ (ดีกรี $0$ ถึง $n$)
• เครื่องหมายผิดในการแทนค่า: $\sin(-x) = -\sin(x)$ ดังนั้นอนุกรมของ $\sin(-x)$ มีเครื่องหมายสลับที่พลิกเทียบกับ $\sin(x)$