AI Math
เปิดแอป

เครื่องคำนวณการแปลงลาปลาส

หาการแปลงลาปลาสและการแปลงลาปลาสผกผันพร้อมเฉลยทีละขั้นตอนด้วยพลัง AI

ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพหรือ PDF

∑Math Input
Laplace transform of e^(2t)*sin(3t)
Laplace transform of t^2
inverse Laplace of 1/(s^2 + 4)
inverse Laplace of s/((s-1)(s+2))

การแปลงลาปลาสคืออะไร?

การแปลงลาปลาส แปลงฟังก์ชันของเวลา f(t)f(t) เป็นฟังก์ชันของความถี่เชิงซ้อน F(s)F(s):

F(s)=L{f(t)}=∫0∞e−stf(t) dtF(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt

การแปลงนิยามสำหรับ ss ในระนาบครึ่งขวาบางส่วน Re⁡(s)>σ\operatorname{Re}(s) > \sigma ที่ปริพันธ์ลู่เข้า

ทำไมจึงมีประโยชน์: ลาปลาสแปลงการหาอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย ss ทำให้ ODE เชิงเส้นสัมประสิทธิ์คงตัวกลายเป็นสมการพีชคณิตใน ss คุณแก้พีชคณิตแล้วทำ การแปลงลาปลาสผกผัน เพื่อได้คำตอบในโดเมนเวลา

การแปลงลาปลาสยังจัดการ อินพุตที่ไม่ต่อเนื่องและแบบกระตุก (ฟังก์ชันขั้นบันได ดิแรกเดลตา) ได้อย่างสง่างาม ซึ่งทำให้ขาดไม่ได้ในทฤษฎีการควบคุม การประมวลผลสัญญาณ และวิศวกรรมไฟฟ้า

วิธีคำนวณการแปลงลาปลาส

คู่การแปลงพื้นฐาน

จำตารางหลักนี้:

f(t)f(t)F(s)=L{f(t)}F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}
111s\dfrac{1}{s}
tnt^nn!sn+1\dfrac{n!}{s^{n+1}}
eate^{at}1s−a\dfrac{1}{s - a}
sin⁡(ωt)\sin(\omega t)ωs2+ω2\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}
cos⁡(ωt)\cos(\omega t)ss2+ω2\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}
u(t−a)u(t - a) (ขั้นบันได)e−ass\dfrac{e^{-as}}{s}
δ(t−a)\delta(t - a)e−ase^{-as}

สมบัติสำคัญ

ความเป็นเชิงเส้น:

L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)

การเลื่อนแรก (s-shift):

L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)

นี่คือวิธีที่ eatsin⁡(ωt)→ω(s−a)2+ω2e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}

การหาอนุพันธ์ในโดเมน tt:

L{f′(t)}=sF(s)−f(0)\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)

L{f′′(t)}=s2F(s)−sf(0)−f′(0)\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)

นี่คือสิ่งที่แปลง ODE เป็นพีชคณิต: อนุพันธ์กลายเป็นพหุนามใน ss คูณด้วย F(s)F(s) โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นฝังอยู่

การคูณด้วย tt:

L{tf(t)}=−F′(s)\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)

การแปลงลาปลาสผกผัน

กำหนด F(s)F(s) หา f(t)f(t) ที่ทำให้ L{f(t)}=F(s)\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) เทคนิคมาตรฐาน:

  1. เศษส่วนย่อย: แยก F(s)F(s) เป็นชิ้นตรรกยะอย่างง่ายที่ตรงกับตาราง
  2. การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์: สำหรับรูป 1s2+bs+c\frac{1}{s^2 + bs + c} เขียนใหม่เป็น 1(s−a)2+ω2\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2} เพื่อให้ตรงกับรายการตารางไซน์ที่เลื่อน
  3. เปิดตารางและรวม โดยใช้ความเป็นเชิงเส้น

การแก้ ODE ด้วยลาปลาส

สำหรับ y′′+3y′+2y=e−ty'' + 3y' + 2y = e^{-t}, y(0)=0,y′(0)=1y(0) = 0, y'(0) = 1:

  1. ใช้ลาปลาส: s2Y−s⋅0−1+3(sY−0)+2Y=1s+1s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}
  2. แก้หา YY: Y(s2+3s+2)=1+1s+1Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1} ดังนั้น Y=s+2(s+1)(s2+3s+2)=1(s+1)2Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2} (หลังทำให้เป็นรูปอย่างง่าย)
  3. ผกผัน: y(t)=te−ty(t) = t e^{-t}

สะอาดและเป็นกลไก — ปัญหาเดียวกันด้วยการแปรผันพารามิเตอร์ใช้งานเป็นสองเท่า

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและควรหลีกเลี่ยง

  • ลืมเงื่อนไขเริ่มต้น: L{f′}=sF(s)−f(0)\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0) การข้าม f(0)f(0) เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด
  • เครื่องหมายผิดใน s-shift: L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a) ไม่ใช่ F(s+a)F(s + a) เครื่องหมายมีความสำคัญ
  • จัดการความไม่ต่อเนื่องผิด: สำหรับอินพุตขั้นบันได ใช้ฟังก์ชันขั้นหนึ่งหน่วย u(t−a)u(t-a) และทฤษฎีบทการเลื่อนเวลา L{u(t−a)f(t−a)}=e−asF(s)\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)
  • การแปลงผกผันโดยไม่ใช้เศษส่วนย่อย: 1(s−1)(s+2)\frac{1}{(s-1)(s+2)} ผกผันโดยตรงไม่ได้ — แยกก่อน
  • สับสน F(s)F(s) กับ L−1{F}\mathcal{L}^{-1}\{F\}: F(s)F(s) คือการแปลง f(t)f(t) คือต้นฉบับ จบปัญหา ODE กลับในโดเมนเวลาเสมอ

Examples

Step 1: ใช้กฎ L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a) โดย f(t)=tf(t) = t, a=2a = 2
Step 2: L{t}=1/s2\mathcal{L}\{t\} = 1/s^2 ดังนั้น F(s)=1/s2F(s) = 1/s^2
Step 3: ใช้ s-shift: L{te2t}=1/(s−2)2\mathcal{L}\{t e^{2t}\} = 1/(s-2)^2
Answer: 1(s−2)2\dfrac{1}{(s - 2)^2}

Step 1: เทียบกับตาราง: L{sin⁡(ωt)}=ω/(s2+ω2)\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \omega / (s^2 + \omega^2)
Step 2: ในที่นี้ ω2=4\omega^2 = 4 ดังนั้น ω=2\omega = 2
Step 3: ปรับค่าคงตัว: 1s2+4=12⋅2s2+4\frac{1}{s^2+4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{s^2+4}
Step 4: ดังนั้น L−1{1/(s2+4)}=12sin⁡(2t)\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+4)\} = \frac{1}{2}\sin(2t)
Answer: 12sin⁡(2t)\dfrac{1}{2}\sin(2t)

Step 1: เศษส่วนย่อย: s(s−1)(s+2)=As−1+Bs+2\frac{s}{(s-1)(s+2)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+2}
Step 2: คูณกระจาย: s=A(s+2)+B(s−1)s = A(s+2) + B(s-1)
Step 3: ให้ s=1s = 1: 1=3A1 = 3A ดังนั้น A=1/3A = 1/3
Step 4: ให้ s=−2s = -2: −2=−3B-2 = -3B ดังนั้น B=2/3B = 2/3
Step 5: ผกผันแต่ละชิ้น: 13et+23e−2t\frac{1}{3}e^t + \frac{2}{3}e^{-2t}
Answer: 13et+23e−2t\dfrac{1}{3}e^t + \dfrac{2}{3}e^{-2t}

Frequently Asked Questions

การแปลงลาปลาสมีอยู่เมื่อปริพันธ์ ∫₀^∞ e^(-st)f(t) dt ลู่เข้า โดยทั่วไปต้องการให้ f เติบโตไม่เร็วกว่าแบบเลขชี้กำลังเมื่อ t → ∞ และ Re(s) มากกว่าอันดับเลขชี้กำลังของฟังก์ชัน

การแปลงลาปลาสหาปริพันธ์บน [0, ∞) ด้วยเคอร์เนล e^(-st) เมื่อ s เป็นเชิงซ้อน จัดการปัญหาค่าเริ่มต้นและอินพุตที่เติบโตแบบเลขชี้กำลัง การแปลงฟูริเยร์หาปริพันธ์บน (-∞, ∞) ด้วยเคอร์เนล e^(-iωt) จัดการเนื้อหาความถี่สถานะคงตัวของฟังก์ชันที่ลดลงที่อนันต์

เพราะ ℒ{f'} = sF(s) - f(0) การหาอนุพันธ์ใน t กลายเป็นการคูณด้วย s ในโดเมน s ODE เชิงเส้นสัมประสิทธิ์คงตัวกลายเป็นสมการพหุนามใน s ซึ่งคุณแก้แบบพีชคณิต

สำหรับ F(s) ที่เป็นตรรกยะที่ดีกรีตัวเศษน้อยกว่าดีกรีตัวส่วน ได้ — โดยใช้เศษส่วนย่อยและตารางมาตรฐาน สำหรับ F(s) ที่ไม่เป็นตรรกยะ การผกผันอาจต้องใช้ปริพันธ์ตามเส้นชิด (ปริพันธ์บรอมวิช) หรือไม่มีรูปปิด

Related Solvers

เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์เครื่องคำนวณปริพันธ์เครื่องคำนวณอนุพันธ์
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving