จงหาคำตอบทั้งหมดของ 3cos(2x) = 2ln(x − 1)

Step-by-step solution

1. 1

   กำหนดโดเมนให้ชัดก่อน ลอการิทึมต้องการ $x-1>0$ คำตอบทุกค่าจึงสอดคล้องกับ

   $x>1$

   เมื่อ $x\to 1^{+}$ ข้างขวาลู่เข้าสู่ $-\infty$ ขณะที่ข้างซ้ายยังอยู่ใน $[-3,3]$ ผลต่าง $F(x)=3\cos 2x-2\ln(x-1)$ จึงเริ่มต้นด้วยค่าบวกที่มีขนาดใหญ่

2. 2

   จำกัดขอบเขตของช่วงที่ต้องค้นหา ข้างซ้ายมีค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน $3$ เลย คำตอบจึงต้องมี $|2\ln(x-1)|\le 3$ นั่นคือ

   $\ln(x-1)\le 1.5\;\Longrightarrow\;x\le 1+e^{1.5}\approx 5.4817$

   ขั้นนี้เปลี่ยนการค้นหาที่ไม่มีขอบเขตให้กลายเป็นช่วงจำกัด $(1,\,5.4817]$ ซึ่งเป็นขั้นที่ทำให้คำถาม "หาคำตอบ ทั้งหมด" ตอบได้จริง แทนที่จะปลายเปิด

3. 3

   หาตำแหน่งที่ $F(x)=3\cos 2x-2\ln(x-1)$ เปลี่ยนเครื่องหมาย เมื่อกวาดตลอดช่วง พบว่า $F$ เปลี่ยนเครื่องหมายพอดีสามครั้ง

   $F(1.2)>0>F(1.35),\qquad F(2.4)<0<F(2.6),\qquad F(3.5)>0>F(3.7)$

   ระหว่าง $3.7$ กับ $5.48$ ลอการิทึมครอบงำไปแล้วและ $F$ เป็นลบตลอด จึงไม่มีจุดตัดที่สี่

4. 4

   ขัดเกลาแต่ละรากด้วยวิธีแบ่งครึ่งช่วง การแบ่งครึ่งช่วงที่ครอบรากไว้ซ้ำ ๆ ให้

   $x_1\approx 1.283776,\qquad x_2\approx 2.490960,\qquad x_3\approx 3.584299$

5. 5

   ตรวจแต่ละรากด้วยการแทนค่า การหาค่า $F$ ที่ทั้งสามค่าได้ $-7.6\times 10^{-7}$, $-2.2\times 10^{-6}$ และ $+1.6\times 10^{-6}$ ซึ่งเป็นศูนย์ภายในความคลาดเคลื่อนของการปัดอินพุตที่ทศนิยมหกตำแหน่ง $\checkmark$ เปรียบเทียบกับค่าใกล้เคียงอย่าง $1.41538$, $2.40898$ และ $3.55226$ ซึ่งให้ $F=-1.099$, $-0.370$ และ $+0.170$ ห่างจากศูนย์อยู่มาก จึงไม่ใช่คำตอบ