การสำรวจบันทึกอายุของลูกค้า 25 คน: 20, 32, 35, 28, 32, 31, 30, 15, 28, 12, 39, 23, 43, 47, 27, 26, 23, 32, 36, 33, 35, 42, 42, 43, 47 จงหาควอร์ไทล์ที่หนึ่งและที่สามด้วยวิธีทูกี แล้วเปรียบเทียบกับควอร์ไทล์ที่ได้จากการตัดมัธยฐานออก

Step-by-step solution

1. 1

   เรียงข้อมูลก่อน เพราะกฎควอร์ไทล์ทุกกฎเป็นกฎเกี่ยวกับตำแหน่ง ลำดับจึงต้องมาก่อน

   $12,\ 15,\ 20,\ 23,\ 23,\ 26,\ 27,\ 28,\ 28,\ 30,\ 31,\ 32,\ \underline{32},\ 32,\ 33,\ 35,\ 35,\ 36,\ 39,\ 42,\ 42,\ 43,\ 43,\ 47,\ 47$

2. 2

   หามัธยฐาน เมื่อ $n=25$ (เป็นจำนวนคี่) มัธยฐานคือค่ากลางค่าเดียว อยู่ที่ตำแหน่ง $\frac{25+1}{2}=13$

   $M=32$

   ตรงนี้คือจุดที่สองข้อตกลงแยกทางกัน มัธยฐานเป็นค่าข้อมูลจริง จึงมีทางเลือกจริง ๆ ว่ามันควรอยู่ในครึ่งล่าง ครึ่งบน ทั้งสองครึ่ง หรือไม่อยู่เลย

3. 3

   ใช้กฎของทูกี: มัธยฐานเข้าไปอยู่ ทั้งสอง ครึ่ง บานพับของทูกีนิยามเป็นมัธยฐานของครึ่งล่างและครึ่งบน โดย รวม มัธยฐานรวมเข้าไปด้วย ครึ่งล่างจึงเป็น $13$ ค่าแรก และครึ่งบนเป็น $13$ ค่าหลัง

   $\text{ครึ่งล่าง: } 12,\,15,\,20,\,23,\,23,\,26,\,\underline{27},\,28,\,28,\,30,\,31,\,32,\,32$

   $\text{ครึ่งบน: } 32,\,32,\,33,\,35,\,35,\,36,\,\underline{39},\,42,\,42,\,43,\,43,\,47,\,47$

   แต่ละครึ่งมีจำนวนค่าเป็นจำนวนคี่ บานพับแต่ละตัวจึงเป็นค่ากลางค่าเดียวอีกเช่นกัน คือค่าที่ $7$ จาก $13$ ค่า

   $Q_1=27,\qquad Q_3=39$

4. 4

   เปรียบเทียบกับข้อตกลงแบบตัดออก ที่เครื่องคิดเลขและโปรแกรมตารางคำนวณส่วนใหญ่ใช้ การตัดมัธยฐานออกจากทั้งสองครึ่งทำให้เหลือข้างละ $12$ ค่า ควอร์ไทล์แต่ละตัวจึงเป็นค่าเฉลี่ยของเพื่อนบ้านสองค่า

   $Q_1=\frac{26+27}{2}=26.5,\qquad Q_3=\frac{39+42}{2}=40.5$

   คำตอบทั้งสองแบบ "ถูก" ทั้งคู่ เพราะเป็นบทนิยามที่ต่างกัน ไม่ใช่การคำนวณที่ต่างกัน และทั้งสองจะขัดกันได้ก็ต่อเมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่เท่านั้น เพราะนั่นเป็นกรณีเดียวที่มีค่าข้อมูลตั้งอยู่ที่มัธยฐานพอดี

5. 5

   คำนวณพิสัยควอร์ไทล์ตามกฎแต่ละแบบ แล้วดูผลกระทบ

   $\text{IQR}_{\text{Tukey}}=39-27=12,\qquad \text{IQR}_{\text{exclusive}}=40.5-26.5=14$

   การรวมมัธยฐานเข้าไปดึงบานพับทั้งสองเข้าหาศูนย์กลาง กฎของทูกีจึงให้ IQR ที่เท่าเดิมหรือเล็กกว่าเสมอ สิ่งใดก็ตามที่สร้างจาก IQR ไม่ว่าจะเป็นหนวดของแผนภาพกล่อง หรือรั้วค่านอกเกณฑ์ที่ $1.5\,\text{IQR}$ ย่อมเลื่อนตามไปด้วย นี่คือเหตุผลที่รายงานควรระบุว่าใช้ข้อตกลงแบบใด

6. 6

   ตรวจดูรั้วเพื่อดูผลในทางปฏิบัติ เมื่อใช้ค่าของทูกี รั้วค่านอกเกณฑ์คือ $27-1.5(12)=9$ และ $39+1.5(12)=57$ เมื่อใช้ค่าแบบตัดออก รั้วคือ $26.5-1.5(14)=5.5$ และ $40.5+1.5(14)=61.5$ ไม่มีกฎใดชี้ว่าอายุใดในบรรดา $25$ ค่านี้เป็นค่านอกเกณฑ์เลย (ค่าสุดขั้วคือ $12$ กับ $47$) การเลือกข้อตกลงจึงไม่เปลี่ยนข้อสรุปในชุดข้อมูลนี้ แต่ในชุดข้อมูลที่มีหางยาวกว่านี้ มันเปลี่ยนได้ง่ายมาก