ผู้เข้าร่วม 15 คน วัดค่า BMI ก่อนและหลังโปรแกรมฝึก ก่อน: 19.24, 20.50, 23.00, 31.90, 22.00, 34.30, 25.80, 23.70, 20.10, 32.40, 25.10, 25.00, 27.67, 23.48, 28.49 หลัง: 18.50, 19.50, 21.90, 27.00, 21.70, 33.70, 24.80, 22.50, 19.80, 31.20, 23.93, 23.00, 28.99, 24.30, 28.92 จงทดสอบที่ระดับนัยสำคัญ 5% ว่าโปรแกรมนี้เปลี่ยนค่าเฉลี่ย BMI หรือไม่

Step-by-step solution

1. 1

   ตระหนักว่าสองคอลัมน์นี้ไม่ใช่กลุ่มตัวอย่างอิสระ แต่ละแถวคือคนคนเดียวที่ถูกวัดสองครั้ง ตัวเลข "ก่อน" กับ "หลัง" จึงผูกกันเป็นคู่ ๆ การทดสอบ $t$ สองกลุ่มจะมองว่าเป็นข้อมูลไม่เกี่ยวข้องกัน $30$ ค่า และจะถูกกลบด้วยการกระจายระหว่างบุคคลที่มหาศาล (BMI ในที่นี้อยู่ระหว่าง $19$ ถึง $34$) การทำงานกับ ผลต่าง $15$ ค่าจะหักค่าฐานของแต่ละคนออกไป เหลือเพียงผลของโปรแกรม นี่คือเหตุผลที่การทดสอบแบบจับคู่ไวกว่ามาก

2. 2

   สร้างผลต่าง $d_i=\text{ก่อน}-\text{หลัง}$

   $0.74,\;1.00,\;1.10,\;4.90,\;0.30,\;0.60,\;1.00,\;1.20,\;0.30,\;1.20,\;1.17,\;2.00,\;-1.32,\;-0.82,\;-0.43$

   สิบสองในสิบห้าค่าเป็นบวก (BMI ลดลง) และสามค่าเป็นลบ สมมติฐานเขียนขึ้นเกี่ยวกับผลต่างเฉลี่ย $\mu_d$

   $H_0:\mu_d=0,\qquad H_1:\mu_d\neq 0$

3. 3

   คำนวณค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลต่าง ผลต่างรวมกันได้ $382.68-369.74=12.94$ ดังนั้น

   $\bar d=\frac{12.94}{15}=0.8627$

   $s_d=\sqrt{\frac{\sum (d_i-\bar d)^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{27.9933}{14}}=1.4140$

   ให้ใช้ $n-1=14$ ในตัวส่วน ไม่ใช่ $n$ เพราะค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างถูกปรับให้เข้ากับข้อมูลไปแล้ว จึงมีเพียง $14$ ค่าเบี่ยงเบนที่เป็นอิสระ

4. 4

   เปลี่ยนผลต่างเฉลี่ยให้เป็นตัวสถิติ $t$ ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของ $\bar d$ คือ

   $s_{\bar d}=\frac{s_d}{\sqrt n}=\frac{1.4140}{\sqrt{15}}=0.3651$

   $t=\frac{\bar d-0}{s_{\bar d}}=\frac{0.8627}{0.3651}=2.363$

   โดยมี $df=n-1=14$ ตัวสถิตินี้คือ "การลดลงที่สังเกตได้อยู่ห่างจากศูนย์กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน" นั่นเอง

5. 5

   เทียบกับค่าวิกฤตและอ่านค่า $p$ สำหรับการทดสอบสองหางที่ $\alpha=0.05$ ด้วยองศาเสรี $14$ ค่าวิกฤตคือ $t^{*}=2.145$

   $|t|=2.363>2.145$

   ค่า $p$ สองหางที่สมนัยกันคือ $p\approx 0.033$ ซึ่งต่ำกว่า $0.05$ จึงปฏิเสธ $H_0$ ว่าการเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ย BMI มีนัยสำคัญทางสถิติ

6. 6

   รายงานช่วงความเชื่อมั่นด้วย เพราะค่า $p$ เพียงอย่างเดียวปิดบังขนาดของผล

   $\bar d\pm t^{*}s_{\bar d}=0.8627\pm 2.145(0.3651)=0.8627\pm 0.7832$

   $95\%\text{ CI ของ }\mu_d:\;(0.0795,\;1.6458)$

   ช่วงนี้ไม่คลุม $0$ ซึ่งให้ข้อสรุปเดียวกับการทดสอบ แต่มันยังแสดงด้วยว่าการลดลงอาจน้อยเพียง $0.08$ หน่วย BMI ก็เป็นไปได้ คือตรวจจับได้ทางสถิติ แต่แทบไม่มีความหมายทางคลินิกที่ปลายล่าง อีกทั้งการวัดกลุ่มเดียวสองครั้งไม่มีกลุ่มควบคุม จึงยกความดีความชอบของการเปลี่ยนแปลงให้โปรแกรมเพียงลำพังไม่ได้