กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 6 ลูก และสีน้ำเงิน 6 ลูก หยิบลูกบอล 6 ลูกพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้สีแดงอย่างน้อย 2 ลูกเป็นเท่าใด

Step-by-step solution

1. 1

   นับปริภูมิตัวอย่าง ลูกบอลถูกหยิบพร้อมกันทั้งหมด ลำดับจึงไม่สำคัญ และเซตของลูกบอล $6$ ลูกจาก $12$ ลูกทุกเซตมีโอกาสเท่ากัน

   $\binom{12}{6}=924.$

2. 2

   ใช้ส่วนเติมเต็มแทนการแยกห้ากรณี "แดงอย่างน้อย $2$ ลูก" ครอบคลุมกรณีแดง $2,3,4,5,6$ ลูก คือต้องนับห้าค่า ส่วนเติมเต็มของมันครอบคลุมเพียงสองกรณี คือแดง $0$ ลูก หรือแดง $1$ ลูก จึงคำนวณ

   $P(\text{แดงอย่างน้อย }2\text{ ลูก})=1-P(0\text{ ลูกแดง})-P(1\text{ ลูกแดง}).$

   เมื่อใดที่ "อย่างน้อย $k$" ทิ้งกรณีไว้อีกฝั่งน้อยกว่า ส่วนเติมเต็มคือทางที่สั้นกว่าเสมอ

3. 3

   นับการหยิบที่ไม่มีลูกแดงเลย ลูกบอลทั้งหกลูกที่หยิบได้ต้องเป็นสีน้ำเงิน และมีลูกน้ำเงินอยู่ $6$ ลูกพอดี จึงมีเซตแบบนี้เพียงเซตเดียว

   $\binom{6}{0}\binom{6}{6}=1\cdot 1=1.$

4. 4

   นับการหยิบที่ได้ลูกแดงหนึ่งลูกพอดี เลือกลูกแดง $1$ ลูกจาก $6$ ลูก และเลือกลูกน้ำเงิน $5$ ลูกจาก $6$ ลูก การเลือกทั้งสองเป็นอิสระกัน จึงคูณกัน

   $\binom{6}{1}\binom{6}{5}=6\cdot 6=36.$

   รวมแล้วส่วนเติมเต็มมี $1+36=37$ แบบ จากทั้งหมด $924$ แบบที่เป็นไปได้

5. 5

   ลบเพื่อหาคำตอบ

   $P=1-\frac{37}{924}=\frac{924-37}{924}=\frac{887}{924}\approx 0.9600.$

   เศษส่วนนี้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำอยู่แล้ว ($924=2^{2}\cdot 3\cdot 7\cdot 11$ ไม่มีตัวประกอบร่วมกับ $887$ ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ) การไล่นับทุกสับเซตทั้ง $924$ แบบนับได้ $887$ แบบที่มีลูกแดงตั้งแต่สองลูกขึ้นไป ยืนยันผลลัพธ์ และความน่าจะเป็นราว $96\%$ ก็สมเหตุสมผล เพราะการหยิบครึ่งกล่องแล้วเลี่ยงสีหนึ่งได้เกือบหมดนั้นเกิดยากมาก