ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 3 ลูก และสีขาว 5 ลูก หยิบลูกบอลสองลูกพร้อมกันแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่จะได้สีแดงทั้งสองลูกเป็นเท่าใด

Step-by-step solution

1. 1

   ตัดสินก่อนว่าลำดับสำคัญหรือไม่ ลูกบอลสองลูกถูกหยิบพร้อมกัน การหยิบครั้งหนึ่งจึงเป็น คู่ ของลูกบอลที่ไม่คิดลำดับ การนับคู่แบบไม่คิดลำดับด้วยการจัดหมู่ทำให้ตัวเศษกับตัวส่วนสอดคล้องกัน ถ้านับแบบคิดลำดับก็จะได้คำตอบเดียวกัน ตราบใดที่ทำเหมือนกันทั้งสองฝั่งของเศษส่วน

2. 2

   นับผลลัพธ์ทั้งหมดที่มีโอกาสเท่ากัน ในถุงมีลูกบอล $3+5=8$ ลูก และทุกคู่ของลูกบอลที่ต่างกันมีโอกาสเท่ากัน ปริภูมิตัวอย่างจึงมีสมาชิก

   $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$

   ตัว

3. 3

   นับผลลัพธ์ที่ต้องการ การได้สีแดงทั้งสองลูกหมายถึงการเลือกลูกแดง $2$ ลูกจาก $3$ ลูก

   $\binom{3}{2}=3$

   ลูกบอลสีขาวไม่มีบทบาทอื่นนอกจากทำให้ตัวส่วนใหญ่ขึ้น

4. 4

   หารเพื่อหาความน่าจะเป็น

   $P(\text{แดงทั้งสองลูก})=\frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{3}{28}\approx 0.107$

   $\boxed{\dfrac{3}{28}}$

5. 5

   ยืนยันด้วยวิธีหยิบทีละลูก (กฎการคูณ) หยิบทีละลูก ลูกแรกเป็นสีแดงด้วยความน่าจะเป็น $\tfrac{3}{8}$ เมื่อเป็นเช่นนั้นแล้วจะเหลือลูกแดงเพียง $2$ ลูกจาก $7$ ลูก ลูกที่สองจึงเป็นสีแดงด้วยความน่าจะเป็น $\tfrac{2}{7}$

   $\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$

   ผลที่ตรงกันเป็นการตรวจที่ดีว่าเราปฏิบัติกับการหยิบแบบไม่ใส่คืนจริง ถ้าหยิบแบบใส่คืน คำตอบจะเป็น $\left(\tfrac{3}{8}\right)^2=\tfrac{9}{64}$ ซึ่งใหญ่กว่าอย่างเห็นได้ชัด