การศึกษาจราจรทำนายว่าอุบัติเหตุที่ทางแยกสี่แยก ทางแยกรูปตัว Y และสามแยก จะเกิดในอัตราส่วน 3:2:1 จากอุบัติเหตุ 200 ครั้งที่ทางแยกซึ่งมีปริมาณจราจรเท่ากัน นับได้ 116, 60 และ 24 ครั้งตามลำดับ จงทดสอบคำทำนายนี้ด้วยไคสแควร์

Step-by-step solution

1. 1

   เลือกการทดสอบให้ถูกชนิด โจทย์มีตัวแปรเชิงคุณภาพเพียงตัวเดียว (ชนิดของทางแยก) และมีการแจกแจงเชิงทฤษฎีให้เทียบ ไม่ใช่ตัวแปรสองตัวมาไขว้ตาราง จึงเป็น การทดสอบไคสแควร์ความกลมกลืน ไม่ใช่การทดสอบความเป็นอิสระ ความต่างนี้สำคัญเพราะกำหนดองศาเสรีเป็น $k-1$ แทนที่จะเป็น $(r-1)(c-1)$

2. 2

   สร้างค่าคาดหวังจากอัตราส่วน ผลรวมคือ $116+60+24=200$ และ $3:2:1$ แบ่งทั้งหมดออกเป็นหกส่วน

   $E_1=200\cdot\tfrac{3}{6}=100,\qquad E_2=200\cdot\tfrac{2}{6}=66.\overline{6},\qquad E_3=200\cdot\tfrac{1}{6}=33.\overline{3}.$

   ค่าคาดหวังทุกค่ามากกว่า $5$ การประมาณด้วยไคสแควร์จึงปลอดภัย ให้เก็บเศษส่วนที่แน่นอน $\tfrac{200}{3}$ และ $\tfrac{100}{3}$ ไว้แทนค่าปัดเศษ $66.67$ กับ $33.33$ มิฉะนั้นความคลาดเคลื่อนจากการปัดจะเล็ดลอดเข้าไปในตัวสถิติ

3. 3

   คำนวณส่วนร่วมของแต่ละช่องใน $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$

   $\frac{(116-100)^2}{100}=\frac{256}{100}=2.56,\qquad \frac{\left(60-\tfrac{200}{3}\right)^2}{\tfrac{200}{3}}=\frac{400/9}{200/3}=\frac{2}{3},\qquad \frac{\left(24-\tfrac{100}{3}\right)^2}{\tfrac{100}{3}}=\frac{784/9}{100/3}=\frac{196}{75}.$

4. 4

   บวกรวมกัน เมื่อทำตัวส่วนร่วมเป็น $75$

   $\chi^2=\frac{192}{75}+\frac{50}{75}+\frac{196}{75}=\frac{438}{75}=\frac{146}{25}=5.84.$

   ค่านี้เท่ากับ $5.84$ พอดี ไม่ใช่แค่ปัดเศษมา สังเกตว่าหมวดสามแยกซึ่งมีค่าคาดหวังน้อยที่สุด กลับมีส่วนร่วมมากที่สุด ($2.613$) ทั้งที่ผลต่างดิบของมันน้อยกว่าส่วนเกินของสี่แยก นั่นคือผลของการถ่วงน้ำหนักด้วย $1/E$

5. 5

   เทียบกับค่าวิกฤต เมื่อมี $k=3$ หมวด จะได้ $df=k-1=2$ ค่าวิกฤตที่ $\alpha=0.05$ คือ $\chi^2_{0.05,2}=5.991$ และสำหรับ $df=2$ ค่า $p$ มีรูปปิดคือ $p=e^{-\chi^2/2}=e^{-2.92}\approx 0.054$

6. 6

   สรุปผล เนื่องจาก $5.84<5.991$ (หรือเทียบเท่ากับ $p\approx 0.054>0.05$) จึงไม่ปฏิเสธสมมติฐานว่าง ข้อมูลที่สังเกตได้สอดคล้องกับอัตราส่วน $3:2:1$ ที่ทำนายไว้ แม้จะสอดคล้องแบบเฉียดฉิว ดังนั้นการเก็บตัวอย่างให้มากขึ้นก็ยังคุ้มค่าที่จะทำ