จงหาจำนวนพาลินโดรมหกหลักที่มากที่สุดซึ่งหารด้วย 15 ลงตัว

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนรูปทั่วไปของจำนวนพาลินโดรมหกหลัก จำนวนแบบนี้มีหน้าตาเป็น

   $\overline{abccba}$

   โดยมีเลขโดด $a,b,c$ และ $a\neq 0$ มีเลขโดดอิสระเพียงสามตัวแทนที่จะเป็นหกตัว เพียงเท่านี้ก็ลดการค้นหาจาก $900{,}000$ จำนวน เหลือ $900$ จำนวน

2. 2

   แยกเงื่อนไขการหารลงตัว เนื่องจาก $15=3\times 5$ และ $\gcd(3,5)=1$ จำนวนหนึ่งจะหารด้วย $15$ ลงตัวก็ต่อเมื่อหารด้วยทั้ง $3$ และ $5$ ลงตัว การจัดการตัวประกอบเฉพาะทั้งสองแยกกันคือสิ่งที่ทำให้โจทย์นี้ทำด้วยมือได้

3. 3

   ใช้กฎการหารด้วย 5 ตรึงหลักแรก การหารด้วย $5$ ลงตัวต้องการให้หลักสุดท้ายเป็น $0$ หรือ $5$ ในจำนวนพาลินโดรม หลักสุดท้ายเท่ากับหลักแรก และจำนวนหกหลักขึ้นต้นด้วย $0$ ไม่ได้ ดังนั้น

   $a=5$

   และจำนวนนี้อยู่ในรูป $\overline{5bccb5}$ ผู้เข้าชิงทุกตัวจึงเริ่มที่ห้าแสนกว่า ไม่มีพาลินโดรมที่เป็นพหุคูณของ $15$ ตัวใดขึ้นต้นด้วย $6$ หรือมากกว่าได้เลย

4. 4

   ใช้กฎการหารด้วย 3 กับผลบวกของเลขโดด เลขโดดรวมกันได้

   $5+b+c+c+b+5=10+2b+2c$

   ค่านี้ต้องหารด้วย $3$ ลงตัว เมื่อคิดในมอดุโล $3$ จะได้ $10+2b+2c\equiv 1+2(b+c)\equiv 0$ ซึ่งบังคับให้

   $b+c\equiv 1 \pmod 3$

5. 5

   ทำให้เลขโดดใหญ่ที่สุดไล่จากซ้ายมาขวา หลักหน้ามีน้ำหนักมากที่สุด จึงลอง $b=9$ ก่อน แล้ว $c$ ต้องสอดคล้องกับ $9+c\equiv 1\pmod 3$ นั่นคือ $c\equiv 1\pmod 3$ ดังนั้น $c\in\{1,4,7\}$ และตัวที่ใหญ่ที่สุดคือ $c=7$ นี่ยังเป็นเหตุผลที่ $599995$ ซึ่งดูน่าใช้กลับใช้ไม่ได้ เพราะผลบวกเลขโดดของมันคือ $46$ ซึ่งไม่เป็นพหุคูณของ $3$

6. 6

   ประกอบจำนวนและตรวจคำตอบ เมื่อ $a=5$, $b=9$, $c=7$ จำนวนนั้นคือ

   $597795$

   ตรวจ: ลงท้ายด้วย $5$ จึงหารด้วย $5$ ลงตัว ผลบวกเลขโดดคือ $5+9+7+7+9+5=42$ ซึ่งหารด้วย $3$ ลงตัว และแท้จริงแล้ว

   $597795=15\times 39853$

   เนื่องจาก $b=9$ เป็นหลักที่สองที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ และ $c=7$ เป็นหลักที่สามที่ใหญ่ที่สุดที่ใช้ได้ จึงไม่มีพาลินโดรมหกหลักตัวใดที่ใหญ่กว่านี้แล้วยังใช้ได้