รถยนต์วิ่งครึ่งแรกของเส้นทางตรงด้วยอัตราเร็วคงที่ 50 กม./ชม. และครึ่งหลังด้วยอัตราเร็วคงที่ 60 กม./ชม. จงหาอัตราเร็วเฉลี่ยตลอดเส้นทาง

Step-by-step solution

1. 1

   เริ่มจากบทนิยาม ไม่ใช่จากความรู้สึก อัตราเร็วเฉลี่ยคือ

   $v_{\text{avg}}=\frac{\text{ระยะทางรวม}}{\text{เวลารวม}}$

   ไม่ใช่ ค่าเฉลี่ยของอัตราเร็วสองค่า การเฉลี่ย $50$ กับ $60$ ให้ได้ $55$ แอบสมมติว่ารถใช้ เวลา เท่ากันที่แต่ละอัตราเร็ว แต่โจทย์นี้รถวิ่งได้ ระยะทาง เท่ากัน และใช้เวลานานกว่าในครึ่งที่ช้ากว่า ซึ่งดึงค่าเฉลี่ยให้ต่ำลง

2. 2

   ตั้งชื่อระยะทางเพื่อให้มันตัดกันได้ ให้แต่ละครึ่งเป็น $d$ ระยะทางรวมจึงเป็น $2d$ เวลาของแต่ละครึ่งคือระยะทางหารด้วยอัตราเร็ว

   $t_1=\frac{d}{50},\qquad t_2=\frac{d}{60}$

3. 3

   บวกเวลาโดยทำตัวส่วนให้เท่ากัน

   $t_1+t_2=\frac{d}{50}+\frac{d}{60}=d\left(\frac{6}{300}+\frac{5}{300}\right)=\frac{11d}{300}$

4. 4

   นำระยะทางรวมหารด้วยเวลารวม

   $v_{\text{avg}}=\frac{2d}{\dfrac{11d}{300}}=2d\cdot\frac{300}{11d}=\frac{600}{11}\approx54.5\ \text{กม./ชม.}$

   ตัวไม่รู้ค่า $d$ ตัดกันหมด นี่คือเหตุผลที่คำตอบไม่ขึ้นกับว่าถนนยาวเท่าใด

5. 5

   สังเกตสูตรทั่วไป ทำพีชคณิตเดิมด้วยสัญลักษณ์จะได้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของอัตราเร็วสองค่า

   $v_{\text{avg}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}=\frac{2(50)(60)}{50+60}=\frac{6000}{110}=54.\overline{54}\ \text{กม./ชม.}$

   ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก น้อยกว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเสมอ ยกเว้นเมื่ออัตราเร็วทั้งสองเท่ากัน ผลลัพธ์ที่ต่ำกว่า $55$ เล็กน้อยจึงเป็นการตรวจความสมเหตุสมผลในตัว

6. 6

   ทดสอบด้วยตัวเลขจริง ให้แต่ละครึ่งยาว $300\ \text{กม.}$ ครึ่งแรกใช้เวลา $6$ ชม. ครึ่งหลังใช้ $5$ ชม. รวม $600\ \text{กม.}$ ใน $11$ ชม. ได้ $600/11\approx54.5\ \text{กม./ชม.}$ ตรงกับสูตรพอดี