จงแก้สมการ (1 + x) ยกกำลัง 20 เท่ากับ 1.1207

Step-by-step solution

1. 1

   จำโครงสร้างของสมการให้ได้ นี่คือสมการการเติบโตแบบทบต้น $1.1207$ คือตัวคูณการเติบโตรวมที่สะสมมาตลอด $20$ งวดที่เท่ากัน และ $x$ คืออัตราต่องวด เนื่องจากเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ รากที่ $20$ ที่เป็นจำนวนจริงจึงเลือกเอาค่าบวก (ถ้าฐานเป็นลบจะทำให้ $1+x<0$ ซึ่งไม่มีความหมายในฐานะตัวคูณการเติบโต)

2. 2

   ถอดกำลังด้วยการถอดราก การยกทั้งสองข้างขึ้นกำลัง $\tfrac{1}{20}$ ให้ $1+x = 1.1207^{1/20} = \sqrt[20]{1.1207}.$

3. 3

   หาค่ารากผ่านลอการิทึม $\ln 1.1207 = 0.11395349$ ดังนั้น $\tfrac{1}{20}\ln 1.1207 = 0.00569767$ และ $1+x = e^{0.00569767} = 1.00571394.$ การใช้ลอการิทึมช่วยเลี่ยงความคลาดเคลื่อนสะสมจากการปัดเศษที่เกิดจากการถอดรากที่สองซ้ำ ๆ

4. 4

   ลบ 1 เพื่อแยกอัตราออกมา $x = 1.00571394 - 1 = 0.00571394 \approx 0.5714\%\ \text{ต่องวด}.$

5. 5

   ตรวจด้วยการทบไปข้างหน้า $1.00571394^{20} = 1.120700$ ซึ่งให้ข้างขวากลับคืนมาถึงทศนิยมหกตำแหน่ง รากนี้จึงถูกต้อง

6. 6

   เข้าใจว่าทำไมการประมาณเชิงเส้นจึงใกล้แต่ไม่เท่า ถ้าเฉลี่ยการเติบโตรวมออกเท่า ๆ กันจะได้ $\tfrac{0.1207}{20}=0.60\%$ ส่วนอัตราจริง $0.5714\%$ น้อยกว่า เพราะการทบต้นทำงานไปส่วนหนึ่งแล้ว ตลอด $20$ งวด ช่องว่างนี้คิดเป็นราว $5\%$ ของอัตรา