จงแก้สมการ (1 + x) ยกกำลัง 15 เท่ากับ 1.0306

Step-by-step solution

1. 1

   ตั้งการดำเนินการผกผัน ตัวไม่รู้ค่าอยู่ในกำลัง $15$ จึงยกทั้งสองข้างขึ้นด้วยเลขชี้กำลังส่วนกลับ $1+x = 1.0306^{1/15} = \sqrt[15]{1.0306}.$ รากอันดับคี่มีค่าจริงเพียงค่าเดียว จึงไม่มีความกำกวมเรื่องเครื่องหมาย

2. 2

   ใช้ลอการิทึมแทนการถอดรากซ้ำ ๆ $\ln 1.0306 = 0.03014116$ เมื่อหารด้วย $15$ ได้ $\tfrac{0.03014116}{15} = 0.00200941$

3. 3

   ยกกำลังกลับ $1+x = e^{0.00200941} = 1.00201143.$ สังเกตว่า $e^{t}\approx 1+t$ เมื่อ $t$ มีค่าน้อย นี่คือเหตุผลที่เลขชี้กำลัง $0.00200941$ กับส่วนทศนิยมของผลลัพธ์ $0.00201143$ ดูเกือบเหมือนกัน ทั้งสองต่างกันที่เลขนัยสำคัญตัวที่สามเท่านั้น

4. 4

   ลบ 1 เพื่อให้ได้อัตรา $x = 1.00201143 - 1 = 0.00201143 \approx 0.2011\%\ \text{ต่องวด}.$

5. 5

   ตรวจด้วยการทบไปข้างหน้า $1.00201143^{15} = 1.030600$ ซึ่งเท่ากับตัวคูณที่โจทย์ให้พอดี

6. 6

   เก็บเลขนัยสำคัญให้พอ ถ้าปัดรากเหลือ $1.0020$ จะได้ $0.20\%$ และเมื่อทบ $15$ ครั้งจะได้เพียง $1.030424$ ซึ่งเพี้ยนตั้งแต่ทศนิยมตำแหน่งที่สี่ของตัวคูณการเติบโตแล้ว เมื่ออัตราน้อยและงวดเยอะ ต้องเก็บเลขนัยสำคัญอย่างน้อยแปดตัวไว้จนถึงการปัดครั้งสุดท้าย