จงหาลิมิตของ √(36x² + 7x + 49) − 6x เมื่อ x เข้าสู่อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุรูปแบบยังไม่กำหนด เมื่อ $x\to\infty$ รากที่สองมีพฤติกรรมเหมือน $\sqrt{36x^2}=6x$ นิพจน์จึงเป็นผลต่างของสองปริมาณที่ระเบิดขึ้นทั้งคู่

   $\sqrt{36x^2+7x+49}\to\infty,\qquad 6x\to\infty\;\Longrightarrow\;\infty-\infty$

   รูปแบบนั้นไม่มีค่าในตัวเอง จะสรุปว่าเป็น $0$ จาก "ทั้งคู่โตแบบ $6x$" ไม่ได้ เพราะสิ่งที่สำคัญคือผลต่างของส่วนแก้ไข

2. 2

   คูณด้วยสังยุค วิธีมาตรฐานสำหรับกรณฑ์ลบพจน์เชิงเส้นคือคูณและหารด้วยผลบวกของสองส่วนเดียวกัน

   $\sqrt{A}-6x=\frac{\left(\sqrt A-6x\right)\left(\sqrt A+6x\right)}{\sqrt A+6x}=\frac{A-36x^2}{\sqrt A+6x},\qquad A=36x^2+7x+49$

   ตัวเศษสูญเสียกรณฑ์ไปทั้งหมด

   $A-36x^2=7x+49$

3. 3

   หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย $x$ สำหรับ $x>0$ เขียนได้ว่า $\sqrt{36x^2+7x+49}=x\sqrt{36+\tfrac{7}{x}+\tfrac{49}{x^2}}$ ดังนั้น

   $\frac{7x+49}{\sqrt{36x^2+7x+49}+6x}=\frac{7+\frac{49}{x}}{\sqrt{36+\frac{7}{x}+\frac{49}{x^2}}+6}$

   การดึง $x$ ออกจากกรณฑ์เป็น $+x$ (ไม่ใช่ $-x$) ใช้ได้ก็เพราะ $x\to+\infty$ เท่านั้น ถ้าเป็น $x\to-\infty$ เครื่องหมายจะพลิกและคำตอบจะเปลี่ยนไปโดยสิ้นเชิง

4. 4

   หาลิมิตของแต่ละส่วน พจน์ $\tfrac{1}{x}$ ทุกตัวหายไป

   $\lim_{x\to\infty}\frac{7+\frac{49}{x}}{\sqrt{36+\frac{7}{x}+\frac{49}{x^2}}+6}=\frac{7}{\sqrt{36}+6}=\frac{7}{12}$

5. 5

   ตรวจความสมเหตุสมผลด้วยตัวเลขและกฎทั่วไป แทนค่ามาก ๆ ที่ $x=10^4$ นิพจน์เป็น $0.583739$ ที่ $x=10^6$ เป็น $0.583337$ ซึ่งลู่เข้าสู่ $\tfrac{7}{12}=0.58\overline{3}$ $\checkmark$ อีกทั้งมีทางลัดที่ควรจำไว้ สำหรับ $\sqrt{a^2x^2+bx+c}-ax$ ที่ $a>0$ ลิมิตเป็น $\tfrac{b}{2a}$ เสมอ และที่นี่ $\tfrac{7}{2\cdot 6}=\tfrac{7}{12}$