จงหาลิมิตของ (2ˣ − 3ˣ)/(2ˣ + 3ˣ) เมื่อ x เข้าสู่อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   วินิจฉัยรูปแบบ ทั้ง $2^x$ และ $3^x$ ลู่เข้าสู่ $\infty$ ผลหารจึงเป็น $\tfrac{\infty-\infty}{\infty+\infty}$ — ยังไม่กำหนด สังเกตว่ากฎของโลปีตาลเป็นทางเลือกที่แย่ในข้อนี้ เพราะการหาอนุพันธ์จะได้รูปเดิมกลับมาพร้อมตัวประกอบ $\ln 2$ และ $\ln 3$ เพิ่มเข้ามา และไม่มีวันจัดรูปให้ง่ายลงได้

2. 2

   ตัดสินว่าเลขชี้กำลังตัวใดมีอิทธิพลเหนือกว่า เมื่อ $x$ มีค่ามาก การเทียบฐานเป็นตัวชี้ขาดทุกอย่าง เนื่องจาก $3>2$

   $\frac{2^{x}}{3^{x}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\longrightarrow 0\quad\text{เมื่อ }x\to\infty$

   เพราะฐาน $\tfrac23<1$ ดังนั้น $3^x$ จึงเป็นพจน์ที่มีอิทธิพลสูงสุดทั้งในตัวเศษและตัวส่วน

3. 3

   หารตัวเศษและตัวส่วนด้วยพจน์ที่มีอิทธิพลสูงสุด $3^{x}$ นี่คือขั้นพีชคณิตสำคัญ — การหารด้วยปริมาณที่โตมากที่สุดคือสิ่งที่ขจัดความไม่กำหนดออกไป

   $\frac{2^{x}-3^{x}}{2^{x}+3^{x}}=\frac{\left(\frac23\right)^{x}-1}{\left(\frac23\right)^{x}+1}$

4. 4

   หาลิมิต เขียน $t=\left(\tfrac23\right)^{x}\to 0^{+}$

   $\lim_{t\to 0^{+}}\frac{t-1}{t+1}=\frac{0-1}{0+1}=-1$

   ลิมิตจึงเป็น $-1$ ในเชิงสัญชาตญาณ พจน์ $-3^x$ กลบทุกอย่าง อัตราส่วนจึงเข้าใกล้ $\tfrac{-3^x}{3^x}=-1$

5. 5

   ตรวจการลู่เข้าด้วยตัวเลข และพิจารณาอีกทิศทางหนึ่ง ที่ $x=50$ ผลหารเป็น $-0.9999999969$ และเมื่อถึง $x=200$ ก็เป็น $-1$ ตามความละเอียดของเครื่อง $\checkmark$ การลู่เข้าเป็นแบบจากด้านบน เพราะ $\tfrac{t-1}{t+1}<0$ แต่ลดลงเข้าหา $-1$ เมื่อ $t\to 0$ เทียบกันแล้ว เมื่อ $x\to-\infty$ บทบาทจะสลับกัน — $2^x$ กลายเป็นตัวมีอิทธิพลสูงสุด — และนิพจน์เดียวกันจะลู่เข้าสู่ $+1$