จงหาลิมิตของ (1 − cos x)/(1 − eˣ) เมื่อ x เข้าใกล้ 0

Step-by-step solution

1. 1

   ยืนยันว่ารูปแบบเป็น $\tfrac{0}{0}$ ที่ $x=0$ ทั้งสองส่วนเป็นศูนย์ คือ $1-\cos 0=0$ และ $1-e^{0}=0$ ผลหารจึงยังไม่กำหนดและต้องจัดการต่อ — สัญชาตญาณที่ผิดกันบ่อยคือตอบ $1$ เพราะคิดว่า "ทั้งคู่เข้าสู่ศูนย์พร้อมกัน" แต่ไม่ใช่เลย ทั้งคู่เข้าสู่ศูนย์ด้วยอัตราที่ต่างกัน

2. 2

   เทียบอัตราด้วยอนุกรมแมกคลอริน เก็บเฉพาะพจน์นำของแต่ละตัว

   $1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\cdots,\qquad 1-e^{x}=-x-\frac{x^2}{2}-\cdots$

   ตัวเศษเป็นอันดับสองใน $x$ ส่วนตัวส่วนเป็นอันดับหนึ่งเท่านั้น ความไม่เท่ากันนี้บอกได้แล้วว่าลิมิตเป็น $0$

3. 3

   หารพฤติกรรมอันดับนำของทั้งสอง

   $\frac{1-\cos x}{1-e^{x}}=\frac{\frac{x^2}{2}\left(1-\frac{x^2}{12}+\cdots\right)}{-x\left(1+\frac{x}{2}+\cdots\right)}=-\frac{x}{2}\cdot\frac{1+O\!\left(x^2\right)}{1+O(x)}\longrightarrow 0$

   ตัวประกอบในวงเล็บทั้งคู่ลู่เข้าสู่ $1$ ทั้งก้อนจึงมีพฤติกรรมเหมือน $-\tfrac{x}{2}$ ใกล้ ๆ $0$

4. 4

   ตรวจด้วยกฎของโลปีตาล หาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนหนึ่งครั้ง

   $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{-e^{x}}=\frac{0}{-1}=0$

   ครั้งเดียวก็พอในข้อนี้ เพราะหลังหาอนุพันธ์แล้วรูปแบบเป็น $\tfrac{0}{-1}$ ซึ่งกำหนดค่าได้ การใช้กฎซ้ำอีกครั้งจะเป็นความผิดพลาด — กฎนี้ใช้ได้เฉพาะขณะที่รูปแบบยังไม่กำหนดเท่านั้น

5. 5

   ตรวจพฤติกรรมสองข้างด้วยตัวเลข ที่ $x=10^{-3}$ ผลหารเป็น $-0.00049975$ ที่ $x=10^{-5}$ เป็น $-5.00\times 10^{-6}$ และที่ $x=-10^{-5}$ เป็น $+5.00\times 10^{-6}$ ค่าลู่เข้าสู่ $0$ จากคนละข้าง สอดคล้องกับการประมาณเชิงเส้น $-\tfrac{x}{2}$ และลิมิตสองข้างคือ

   $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{1-e^{x}}=0$