จงหาค่าลิมิตของ sin(x)/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจรูปแบบ เมื่อ $x\to0$ ทั้ง $\sin x\to0$ และ $x\to0$ การแทนค่าจึงให้ $\tfrac00$ — ยังไม่กำหนด ลิมิตนี้หาค่าด้วยการแทนค่าไม่ได้ และพูดอย่างซื่อสัตย์ก็ใช้โลปีตาลไม่ได้เช่นกัน เพราะอนุพันธ์ $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ ตามปกติแล้วพิสูจน์ขึ้นมาโดยใช้ลิมิตตัวนี้เอง

2. 2

   ตั้งการเปรียบเทียบเชิงเรขาคณิต สำหรับ $0<x<\tfrac{\pi}{2}$ ให้เทียบพื้นที่สามรูปภายในวงกลมหนึ่งหน่วย คือรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ $\tfrac12\sin x$ เซกเตอร์ที่มีพื้นที่ $\tfrac12x$ และรูปสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่าซึ่งมีพื้นที่ $\tfrac12\tan x$ เนื่องจากแต่ละบริเวณบรรจุบริเวณก่อนหน้าไว้

   $\frac12\sin x\le\frac12x\le\frac12\tan x.$

   พจน์ตรงกลางคือจุดที่หน่วยเรเดียนเข้ามามีบทบาท พื้นที่เซกเตอร์เป็น $\tfrac12r^{2}x$ ก็ต่อเมื่อ $x$ อยู่ในหน่วยเรเดียนเท่านั้น

3. 3

   จัดรูปให้เป็นการบีบ หารตลอดด้วย $\tfrac12\sin x>0$ ได้ $1\le\frac{x}{\sin x}\le\frac{1}{\cos x}$ และการกลับเศษส่วนทำให้อสมการกลับทิศ

   $\cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1.$

   ทั้ง $\frac{\sin x}{x}$ และ $\cos x$ เป็นฟังก์ชันคู่ ขอบเขตเดียวกันจึงใช้ได้กับ $-\tfrac{\pi}{2}<x<0$ ด้วย ข้อโต้แย้งนี้จึงครอบคลุมทั้งสองข้างพร้อมกัน

4. 4

   ใช้ทฤษฎีบทแซนด์วิช เนื่องจาก $\cos x\to1$ และค่าคงตัว $1\to1$ เมื่อ $x\to0$ ปริมาณที่ถูกขังไว้จึงไม่มีทางเลือก

   $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

5. 5

   ยืนยันด้วยตัวเลขและข้อควรระวังเรื่องเรเดียน เมื่อคิดในหน่วยเรเดียน ที่ $x=0.1$ อัตราส่วนเป็น $0.998334$ ที่ $x=0.01$ เป็น $0.9999833$ ที่ $x=0.001$ เป็น $0.99999983$ — เข้าใกล้ $1$ จากด้านล่าง ตรงกับขอบเขต $\cos x\le\frac{\sin x}{x}$ ✓ ถ้าวัด $x$ เป็นองศา ลิมิตจะกลายเป็น $\frac{\pi}{180}\approx0.01745$ แทน ซึ่งเป็นเหตุผลที่แคลคูลัสใช้เรเดียนพอดี