จงหาค่าลิมิตของ sin(x) เมื่อ x เข้าสู่อนันต์ หรือแสดงว่าลิมิตไม่มีอยู่จริง

Step-by-step solution

1. 1

   นึกถึงความหมายที่ลิมิตจะต้องมี การบอกว่า $\lim_{x\to\infty}\sin x=L$ ต้องการว่าสำหรับความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้ $\varepsilon>0$ ทุกค่า จะมี $M$ ที่เลยจากนั้นไปแล้ว $|\sin x-L|<\varepsilon$ สำหรับ $x>M$ ทุกค่า ดังนั้นลำดับของ $x$ ค่ามาก ๆ ที่ประพฤติตัวไม่ดีเพียงลำดับเดียวก็เพียงพอจะทำลายข้ออ้างนี้

2. 2

   สังเกตว่าการมีขอบเขตยังไม่พอ ฟังก์ชันสอดคล้องกับ $-1\le\sin x\le1$ สำหรับทุก $x$ มันจึงไม่เคยวิ่งหนีไปสู่อนันต์ แต่การมีขอบเขตไม่ได้แปลว่าลู่เข้า — ฟังก์ชันที่มีขอบเขตแกว่งไปได้ตลอดกาล และนั่นคือสิ่งที่เกิดขึ้นที่นี่พอดี

3. 3

   ยกลำดับย่อยสองลำดับที่มีลิมิตต่างกัน ให้

   $x_{n}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ \sin x_{n}=1,\qquad y_{n}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ \sin y_{n}=-1.$

   ทั้ง $x_{n}\to\infty$ และ $y_{n}\to\infty$ เมื่อ $n\to\infty$ แต่ค่าของฟังก์ชันอยู่นิ่งที่ $1$ และที่ $-1$ ตลอดไป

4. 4

   สรุปว่าไม่มีลิมิต ถ้าลิมิตเป็นจำนวน $L$ ใดจำนวนหนึ่ง ลำดับทุกลำดับที่ลู่เข้าสู่อนันต์จะต้องให้ค่าฟังก์ชันลู่เข้าสู่ $L$ ที่นี่ลำดับหนึ่งให้ $1$ อีกลำดับให้ $-1$ และ $1\ne-1$ จึงไม่มี $L$ เช่นนั้น

   $\lim_{x\to\infty}\sin x\ \text{ไม่มีอยู่จริง}$

5. 5

   แยกให้ออกจากลิมิตที่ "เท่ากับอนันต์" ลิมิตล้มเหลวได้สองแบบ คือโตอย่างไม่มีขอบเขต (เช่น $\lim_{x\to\infty}x^{2}=\infty$) หรือแกว่ง (เช่นข้อนี้) มีเพียงแบบที่สองที่ใช้กับ $\sin x$ อีกทั้งขอสังเกตว่ารุ่นที่ถูกหน่วงกลับลู่เข้า — $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$ โดยทฤษฎีบทแซนด์วิช เพราะ $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1x$ — ดังนั้นสิ่งที่ทำให้ล้มเหลวคือการแกว่งอย่างไม่มีขอบเขตของอาร์กิวเมนต์ ไม่ใช่ตัวไซน์เอง