จงจัดรูป (cos x − cos³x)/x² แล้วหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจรูปแบบ ที่ $x=0$ ตัวเศษเป็น $1-1=0$ และตัวส่วนเป็น $0$ ผลหารจึงเป็น $\tfrac00$ — ยังไม่กำหนด และต้องจัดรูปก่อนจึงจะอ่านลิมิตออกได้

2. 2

   แยกตัวประกอบตัวเศษ ทั้งสองพจน์มีตัวประกอบร่วมคือ $\cos x$

   $\cos x-\cos^{3}x=\cos x\left(1-\cos^{2}x\right).$

   การดึงตัวร่วมออกมาคือสิ่งที่เปิดเผยเอกลักษณ์พีทาโกรัสที่ซ่อนอยู่ในวงเล็บ

3. 3

   ใช้เอกลักษณ์พีทาโกรัส เนื่องจาก $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ ให้ $1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$

   $\cos x-\cos^{3}x=\cos x\,\sin^{2}x,$

   นิพจน์ทั้งก้อนจึงกลายเป็น $\dfrac{\cos x\sin^{2}x}{x^{2}}$ ตอนนี้ $x^{2}$ ที่ตัวส่วนมีคู่ที่ชัดเจนแล้ว คือ $\sin^{2}x$

4. 4

   แยกออกเป็นชิ้นส่วนมาตรฐาน จับ $\sin^{2}x$ ไปคู่กับ $x^{2}$

   $\frac{\cos x-\cos^{3}x}{x^{2}}=\cos x\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}.$

   นี่คือรูปที่จัดแล้ว ใช้ได้สำหรับทุก $x\ne 0$ และประกอบขึ้นจากปริมาณที่รู้ลิมิตที่ $0$ ทั้งหมด

5. 5

   หาลิมิต ใช้ $\lim_{x\to0}\cos x=1$ และลิมิตพื้นฐาน $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ ร่วมกับกฎผลคูณและกฎเลขยกกำลัง

   $\lim_{x\to0}\frac{\cos x-\cos^{3}x}{x^{2}}=1\cdot 1^{2}=1.$

   ยืนยันด้วยตัวเลข ที่ $x=0.1$ ผลหารเป็น $0.99169$ ที่ $x=0.01$ เป็น $0.999917$ ที่ $x=0.001$ เป็น $0.99999917$ ✓ — ลู่เข้าสู่ $1$ จากด้านล่าง ตามที่ $\cos x<1$ ทำนายไว้