จงหาลิมิตของ (sin 3x − 3 sin x)/x³ เมื่อ x เข้าใกล้ 0

Step-by-step solution

1. 1

   ยืนยันรูปแบบยังไม่กำหนดและตัดสินว่าต้องกระจายลึกแค่ไหน ที่ $x=0$ ตัวเศษเป็น $\sin 0-3\sin 0=0$ และตัวส่วนเป็น $0$ นี่จึงเป็น $0/0$ เนื่องจากตัวส่วนเป็น $x^{3}$ ตัวเศษจึงต้องกระจายถึงอันดับ $x^{3}$ — การหยุดที่อันดับหนึ่งจะแสดงเพียงว่าพจน์นำตัดกัน โดยไม่เผยค่าลิมิตเลย

2. 2

   กระจาย $\sin 3x$ ถึงอันดับสาม จาก $\sin u=u-\dfrac{u^{3}}{6}+O(u^{5})$ โดย $u=3x$

   $\sin 3x=3x-\frac{27x^{3}}{6}+O(x^{5})=3x-\frac{9}{2}x^{3}+O(x^{5}).$

   กำลังสามของ $3$ คือสิ่งที่ทำให้พจน์นี้ใหญ่กว่าพจน์ที่สอดคล้องกันใน $\sin x$ ถึงยี่สิบเจ็ดเท่า — ความไม่สมมาตรนี้คือต้นตอทั้งหมดของคำตอบ

3. 3

   กระจาย $3\sin x$ ถึงอันดับเดียวกัน

   $3\sin x=3\left(x-\frac{x^{3}}{6}\right)+O(x^{5})=3x-\frac{1}{2}x^{3}+O(x^{5}).$

4. 4

   ลบกัน พจน์ $3x$ ตัดกันพอดี ตามที่รูปแบบ $0/0$ สัญญาไว้

   $\sin 3x-3\sin x=\left(-\frac92+\frac12\right)x^{3}+O(x^{5})=-4x^{3}+O(x^{5}).$

5. 5

   หารแล้วหาลิมิต

   $\frac{\sin 3x-3\sin x}{x^{3}}=-4+O(x^{2})\;\xrightarrow[x\to 0]{}\;-4.$

   การหาค่าผลหารตรง ๆ ที่ $x=10^{-3}$ ให้ $-3.999998$ และที่ $x=10^{-4}$ ให้ $-3.99999998$ ซึ่งเข้าใกล้ $-4$ จากด้านบนด้วยอัตรา $O(x^{2})$ ตามที่ทำนายไว้