จงหาลิมิตของ (ln(1 + 2x) − 2x)/x² เมื่อ x เข้าใกล้ 0

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจรูปแบบและอันดับที่ต้องกระจาย ที่ $x = 0$ ตัวเศษเป็น $\ln 1 - 0 = 0$ และตัวส่วนเป็น $0$ นี่จึงเป็น $0/0$ เนื่องจากตัวส่วนเป็น $x^2$ ตัวเศษจึงต้องกระจายอย่างน้อยถึงอันดับ $x^2$ — การกระจายแค่อันดับหนึ่งจะได้ $0$ และไม่บอกอะไรเลย

2. 2

   กระจาย ln(1 + u) ถึงอันดับสอง อนุกรมแมกคลอรินคือ

   $\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$

   แทน $u = 2x$

   $\ln(1 + 2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^3) = 2x - 2x^2 + O(x^3)$

   สังเกตว่า $(2x)^2 = 4x^2$ สัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสองจึงเป็น $-2$ ไม่ใช่ $-\tfrac12$

3. 3

   ลบ 2x ออก — พจน์เชิงเส้นตัดกันตามที่ออกแบบไว้

   $\ln(1 + 2x) - 2x = -2x^2 + O(x^3)$

   การตัดกันนี้คือแก่นทั้งหมดของโจทย์ พจน์ $-2x$ ถูกวางไว้ตรงนั้นเพื่อเปิดเผยพฤติกรรมกำลังสองของลอการิทึมโดยเฉพาะ

4. 4

   หารด้วย x²

   $\frac{\ln(1 + 2x) - 2x}{x^2} = \frac{-2x^2 + O(x^3)}{x^2} = -2 + O(x)$

   ปล่อยให้ $x \to 0$ จะทำลายเศษเหลือ $O(x)$ ลิมิตจึงเป็น $-2$

5. 5

   ตรวจซ้ำด้วยกฎของโลปีตาลหนึ่งครั้งแล้วจัดรูป การใช้ครั้งแรก

   $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2x} - 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4x}{2x(1 + 2x)}$

   ซึ่งจัดรูปได้เป็น $\lim_{x \to 0} \frac{-2}{1 + 2x} = -2$ ในเชิงตัวเลข ที่ $x = 10^{-4}$ ผลหารเป็น $-1.99973$ และที่ $x = -10^{-4}$ เป็น $-2.00027$ ซึ่งขนาบ $-2$ ไว้